傅里叶变换基础

傅里叶级数

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），即 任何周期信号都可以表示成一系列正弦信号的叠加

三角形式

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty} \big[ a_k cos (n \omega t) + b_k sin (n \omega t) \big], \quad \frac{a_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt$

复指数形式

$f(t) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(\tau)e^{-j\omega_n\tau} d\tau ] e^{j\omega_nt}$

基波角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ ， $T$ 为 $f(t)$ 的周期， $j$ 为虚数单位

傅里叶积分

复指数形式

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} [ \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)e^{-j\omega\tau} d\tau ] e^{j\omega t} d\omega$

傅里叶变换

一维连续傅里叶变换

正变换 为

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$

逆变换 为

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$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$

一维离散傅里叶变换

正变换 为

$F(u) = \sum_{x=0}^{M-1} f(x) e^{-j2\pi \frac{ux}{M}}$

则

$F(0) = \sum_{x=0}^{M-1} f(x)$

反变换 为

$f(x) = \frac{1}{M} \sum_{u=0}^{M-1} F(u) e^{j2\pi \frac{ux}{M}}$

对于反变换式前的系数 $\frac{1}{M}$ ，也可放在正变换中，只要保证正变换与反变换之前的系数乘积为 $\frac{1}{M}$ 即可。

二维离散傅里叶变换

正变换

二维离散傅里叶变换：

$F[f(x,y)] = F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$

当 $(u,v)$ 等于 $(0,0)$ 时，直流分量 为：

$F(0,0) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)$

幅度谱 为：

$A(u,v) = |F(u,v)| = \sqrt{Real(u,v)^2 + Image(u,u)^2}$

功率谱 为：

$P(u,v) = |F(u,v)|^{2} = Real(u,v)^2 + Image(u,u)^2$

相位谱 为：

$\phi(u,v) = arctan \frac{Image(u,v)}{Real(u,v)}$

通过幅度谱和相位谱，我们也能合成其傅里叶变换（频谱）：

$\begin{aligned} F(u,v) &= A(u,v)e^{j\phi(u,v)} \\ &= A( cos \phi + jsin \phi ) \quad \text{(省略(u,v)，应用欧拉公式)}\\ &= Acos\phi + jAsin\phi \end{aligned}$

注意：

上面式子中的 $j$ 为 虚数单位
$Real(u,v)$ 为复数的实部
$Image(u,v)$ 为复数的虚部

反变换

$f(x,y) = F^{-1}(u,v) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$

卷积

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau) d\tau = f_1(t) * f_2(t)$

卷积定理

函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积

时域卷积定理：时域内的卷积对应频域内的乘积

$F[f_1(t) * f_2(t)] = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)$

频域卷积定理：频域内的卷积对应时域内的乘积

$F[f_1(t) \cdot f_2(t)] = \frac{1}{2\pi} F_1(\omega) * F_2(\omega)$

数字图像DFT

借用知乎大神Heinrich的一张图，来个感性认识：

空间域和频域

空间域：在图像处理中，时域可以理解为 空间域 或者 图像空间，处理对象为图像像元；
频域：以 空间频率 为自变量描述图像的特征,可以将一幅图像像元值在空间上的变化分解为具有不同振幅、空间频率和相位的简振函数的线性叠加，图像中各种空间频率成分的组成和分布称为 图像频谱

空间域与频域可互相转换，对图像施行 二维离散傅立叶变换或小波变换 ，可以将图像由空间域转换到频域；通过 对应的反变换 又可转换回空间域图像，即人可以直接识别的图像。

图像频域滤波

二维数字图像的滤波主要分为空间域滤波和频域滤波：

空间域滤波：用各种模板直接与图像进行 卷积运算，实现对图像的处理，这种方法直接对图像空间操作，操作简单
频域滤波：在实现某些图像处理的时候，频域的处理比空间域更简单；对于在空间域上的数字图像，根据 卷积定理 可以通过 傅立叶变换 将 空域卷积滤波 变换为 频域滤波，然后再将频域滤波处理后的图像 反变换 回空间域