频率域图像增强

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4.1 背景

• 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和的形式，每个正弦和/余弦和乘以不同的系数。这个和就是傅立叶级数。
• 非周期函数(曲线是有限的情况下)也可以用正弦/余弦乘以加权函数的积分来表示。在这种情况下的公式就是傅立叶变换。

4.2 傅立叶变换和频率域的介绍

4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换

• 单变量连续函数 $f(x)$的傅立叶变换 $F(u)$定义为等式：
                           $F(u) = \int_{- \infty}^{\infty}f(x)e^{-j2\pi ux}dx$

• 反变换定义为：
                           $f(x) = \int_{- \infty}^{\infty}F(u)e^{j2\pi ux}du$

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• 单变量离散函数 $f(x)$(其中 $x = 0,1,2,..m-1)$的傅立叶变换由下等式给出：
                         $F(u) =\frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M}, u = 0,1,...,M-1$
• 反傅立叶变换：
                           $f(x) = \sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2\pi ux/M}, x = 0,1,...,M-1$
• $F(u)$值的范围覆盖的域( $u$的值)称为频率域，因为 $u$决定了变换的频率成分。 $F(u)$的 $M$项中的每一个被称为变换的频率分量。
• 有时在极坐标下表示 $F(u)$很方便：
                           $F(u) = |F(u)|e^{-j\phi(u)}$

频率谱      $F(u) = [R^2(u) + I^2(u)]^{1/2}$

$R(u)$指的是傅立叶变换中的实部
$I(u)$指的是傅立叶变换中的虚部

相位谱      $\phi(u) = tan^{-1}[\frac{I(u)}{R(u)}]$
功率谱      $P(u) =|F(u)|^2 = R^2(u) + I^2(u)$

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4.2.2 二维傅立叶变换及其反变换

• 二维连续傅立叶变换与反变换
                                 $F(u,v) = \int_{- \infty}^{\infty}\int_{- \infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy$

                                           $f(x,y) = \int_{- \infty}^{\infty}\int_{- \infty}^{\infty}F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv$

• 二维离散傅立叶变换与反变换
  $F(u,v) =\frac{1}{MN} \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$

$f(x,y) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}$

• $F(u,v)$也可以写成极坐标的形式：
                           $F(u,v) = |F(u,v)|e^{-j\phi(u,v)}$

频率谱      $F(u,v) = [R^2(u,v) + I^2(u,v)]^{1/2}$

$R(u)$指的是傅立叶变换中的实部
$I(u)$指的是傅立叶变换中的虚部

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相位谱      $\phi(u,v) = tan^{-1}[\frac{I(u,v)}{R(u,v)}]$
功率谱      $P(u,v) =|F(u,v)|^2 = R^2(u,v) + I^2(u,v)$

• 二维傅立叶变换的平移性，即：
  $f(x,y)exp[j2\pi(u_0x/M+v_0y/N)] \Leftrightarrow F(u-u_0,v-v_0)$
  $f(x-x_0,y-y_0) \Leftrightarrow F(u,v)exp[-2j\pi(ux_0/M+vy_0/N)]$

证明：

欧拉公式： $e^{ix} = cosx + isinx$

根据平移性：

这说明， $f(x,y)(-1)^{x+y}$的傅立叶变换的原点被设置在 $u = \frac{M}{2}$, $v = \frac{N}{2}$。

使用平移性，实现傅立叶变换结果的中心的平移。

4.3 一些二维傅立叶变换的性质

1. 分配性

$\mathscr{F}[f_1(x,y) + f_2(x,y)] = \mathscr{F}[f_1(x,y)] + \mathscr{F}f_2(x,y)]$

$af(x,y) \Leftrightarrow aF(u,v)$

傅立叶反变换适用相同的结论。

2. 周期性

离散傅立叶变换有如下的周期性：
$F(u,v) =F(u+M,v) = F(u,v+N) = F(u+M,v+N)$
$f(x,y) = f(x + M,v) = f(x,y+N) = f(x+M,y+N)$

离散傅立叶变换把原来的图像看成周期的二维离散函数

证明频率域的周期性：

3. 对称性

如果 $f(x,y)$是实函数，它的傅立叶变换必然是对称的，即：

$F(u,v) = F^*(-u,-v)$

$|F(u,v)| = |F(-u,-v)|$