用Python实现牛顿法求极值

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对于一个多元函数$f(x)=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$，用牛顿法求其极小值的迭代格式为

$$x_{k+1}=x_{k}-G_{k}^{-1}g_{k}$$

其中$g(x)=\nabla f(x)$为函数$f(x)$的梯度向量，$G(x)$为函数$f(x)$的Hesse（Hessian）矩阵。

上述牛顿法不是全局收敛的。为此可以引入阻尼牛顿法（又称带步长的牛顿法）。

我们知道，求极值的一般迭代格式为

$$x_{k+1}=x_{k}+\alpha_{k}p_{k}$$

其中$\alpha_{k}$为搜索步长，$p_{k}$为搜索方向（注意所有的迭代格式都是先计算搜索方向，再计算搜索步长，如同瞎子下山一样，先找到哪个方向可行下降，再决定下几步）。

取下降方向$p_{k}=-G_{k}^{-1}g_{k}$即得阻尼牛顿法，只不过搜索步长$\alpha_{k}$不确定，需要用线性搜索技术确定一个较优的值，比如精确线性搜索或者Goldstein搜索、Wolfe搜索等。特别地，当$\alpha_{k}$一直取为常数1时，就是普通的牛顿法。

以Rosenbrock函数为例，即有

$$f(x)=100(x_{2}-x_{1}^{2})^{2}+(1-x_{1})^{2}$$

于是可得函数的梯度

$$g(x)=\nabla f(x)=(-400(x_{2}-x_{1}^2)x_{1}-2(1-x_{1}),200(x_{2}-x_{1}^2))^{T}$$

函数$f(x)$的Hesse矩阵为

$$\begin{pmatrix} -400(x_{2}-3x_{1}^{2})+2 & -400x_{1} \\ -400x_{1} & 200 \end{pmatrix}$$

编写Python代码如下（使用版本为Python3.3）：

"""
Newton法
Rosenbrock函数
函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def jacobian(x):
    return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])

def hessian(x):
    return np.array([[-400*(x[1]-3*x[0]**2)+2,-400*x[0]],[-400*x[0],200]])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线


def newton(x0):

    print('初始点为:')
    print(x0,'\n')
    W=np.zeros((2,10**3))
    i = 1
    imax = 1000
    W[:,0] = x0 
    x = x0
    delta = 1
    alpha = 1

    while i<imax and delta>10**(-5):
        p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
        x0 = x
        x = x + alpha*p
        W[:,i] = x
        delta = sum((x-x0)**2)
        print('第',i,'次迭代结果:')
        print(x,'\n')
        i=i+1
    W=W[:,0:i]  # 记录迭代点
    return W

x0 = np.array([-1.2,1])
W=newton(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()

上述代码中jacobian(x)返回函数的梯度，hessian(x)返回函数的Hesse矩阵，用W矩阵记录迭代点的坐标，然后画出点的搜索轨迹。

可得输出结果为

初始点为:
[-1.2  1. ] 

第 1 次迭代结果:
[-1.1752809   1.38067416] 

第 2 次迭代结果:
[ 0.76311487 -3.17503385] 

第 3 次迭代结果:
[ 0.76342968  0.58282478] 

第 4 次迭代结果:
[ 0.99999531  0.94402732] 

第 5 次迭代结果:
[ 0.9999957   0.99999139] 

第 6 次迭代结果:
[ 1.  1.] 

即迭代了6次得到了最优解，画出的迭代点的轨迹如下：

由于主要使用了Python的Numpy模块来进行计算，可以看出，代码和最终的图与Matlab是很相像的。