斐波那契（fibonacci）数列与黄金分割比以及矩阵形式推导

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数学上，斐波那契数列以递归的形式进行定义： 

                                                         

注意，递归的形式实现较为简单明了，当然在编程实践时，并不推荐递归的实现方式，因为存在大量的重复计算，斐波那契的优化实现不是本文的重点，如有兴趣，请参阅 每周一刷——从斐波那契数列到动态规划，本文重点探讨菲波那切数列与黄金分割比的关系。

维基百科中说菲波那切数列又叫黄金分割数列，这无疑是在告诉我们我们可以通过黄金分割的方式（（√5−1）/2）生成出来一个菲波那切数列。

下面我们简单验证我们的判断：

def fib(n):
    return n if n <= 1 else fib(n-1)+fib(n-2) 
N = 20
print([fib(n) for n in range(N)])

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]

int(55*(1+.618)+.5) == 89
int(2584*(1+.618)+.5) == 4181

indeed，诚哉斯言。

我们接着做如下的仿真：

def gold_fib(n):
    return n if n <=2 else int(gold_fib(n-1)*(1+.618))
print([gold_fib(n) for n in range(N)])

[0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182]
                                # 已经非常接近了，

通过初等代数方法，我们也可得出此解析解的形式，具体请参考 斐波那契数列；

def matrix_fib(n):
    return int(1/sqrt(5)*(((1+sqrt(5))/2)**n-((1-sqrt(5))/2)**n))

print([matrix_fib(n) for n in range(N)])

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]    
                            # 一模一样，不差分毫