RANSAC Fitting

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RANSAC 算法是一种常用的估计模型参数的方法，相关的算法介绍网上有很多，这里不再累述，主要介绍如何利用RANSAC 方法进行 2D 直线以及 3D 平面拟合。

Source code (python version): Github/yhlleo/RANSAC-fit

1 拟合模型

之所以要自己去实现算法，主要是由于可以直接使用的代码程序和函数库，对于直线以及平面方程一般使用：

lines: $y = ax + b$
planes: $z = ax + by + c$

这样不通用的表达方式，对于自然情景中的很多线性回归问题，一般没什么问题，但是对于一些简单的应用情景，比如本文提到的直线、平面拟合问题，就不具有绝对的通用性，比如斜率不存在的line : $x=n, \ n\in \mathbb{R}$ ，上述的直线方程就无法拟合，同理平面拟合也存在类似问题。因此，采用下面的方法更具有一般性：

lines: $ax + by + c = 0$
planes: $ax + by + cz + d = 0$

对于 2D 直线采用两点式方程，给定直线上任意不同两点 $\mathbf{p}(x_1, y_1), \ \mathbf{q}(x_2, y_2)$ ，则有：

y - y 1 y 2 - y 1 = x - x 1 x 2 - x 1

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

展开为点积式：

(y - y 1) (x 2 - x 1) = (x - x 1) (y 2 - y 1)

$(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)$

进而可以得到：

a = y 2 - y 1, b = x 1 - x 2, c = x 2 y 1 - x 1 y 2

$a = y_2 - y_1, \ b = x_1 - x_2, c = x_2 y_1 - x_1 y_2$

在对直线进行归一化处理：

a = a a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt, b = b a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt, c = c a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt

$a = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, b = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},c = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

同时，如果 $a \neq 0$ ，令 $a > 0$ , 否则令 $b>0$ 。

3D 平面则采用三点式直线方程，给定平面上任意不共线的三点 $\{\mathbf{p}_i(x_i, y_i) , \ i=1, 2,3. \}$ ，则有：

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x - x 1 x 2 - x 1 x 3 - x 1 y - y 1 y 2 - y 1 y 3 - y 1 z - z 1 z 2 - z 1 z 3 - z 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0

$\left| \begin{matrix} x - x_1& y - y_1& z - z_1 \\ x_2 - x_1& y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1& y_3 - y_1& z_3 - z_1 \\ \end{matrix}\right| = 0$

对等式左边行列式按照第一行，进行行展开可得：

(x - x 1) ∣ ∣ ∣ y 2 - y 1 y 3 - y 1 z 2 - z 1 z 3 - z 1 ∣ ∣ ∣ + (y - y 1) ∣ ∣ ∣ z 2 - z 1 z 3 - z 1 x 2 - z 1 x 3 - z 1 ∣ ∣ ∣ + (z - z 1) ∣ ∣ ∣ x 2 - z 1 x 3 - z 1 y 2 - y 1 y 3 - y 1 ∣ ∣ ∣ = 0

$(x - x_1)\left| \begin{matrix} y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ y_3 - y_1& z_3 - z_1 \\ \end{matrix}\right| + (y - y_1) \left| \begin{matrix} z_2 - z_1& x_2 - z_1 \\ z_3 - z_1& x_3 - z_1 \\ \end{matrix}\right| + (z - z_1) \left| \begin{matrix} x_2 - z_1& y_2 - y_1 \\ x_3 - z_1& y_3 - y_1 \\ \end{matrix}\right| = 0$

进而可得：