一、前向和反向传播
当我们使用前馈神经网络接受输入x并产生输入y'时，输入x提供初始信息，到达输入层，传播到隐藏层的隐藏单元，最终到达输出层，这称为前向传播。前向传播直到产生一个标量代价函数
反向传播（Rumelart,1986），允许代价函数的信息通过函数向后传播，找到预测的和实际的误差，以便计算梯度。从而能够对相应的参数W更新。
BP算法的主要流程可以总结如下：
=====================================================================
输入：训练集D=(xk,yk)，初始权重; 学习率;
过程：
1. 在(0, 1)范围内随机初始化网络中所有连接权和阈值
2. repeat:
3. for all (xk,yk)∈D(xk,yk)∈D do
4. 根据当前参数计算当前样本的输出;
5. 计算输出层神经元的梯度项；
6. 计算隐层神经元的梯度项；
7. 更新连接权与阈值
8. end for
9. until 达到停止条件
输出：连接权与阈值确定的多层前馈神经网络
======================================================================
下面给出一个具体的例子来进行分析：
原文地址：http://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html
第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。
其中，输入数据 i1=0.05，i2=0.10;
输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。
二、算法推导
为了通过输入数据，能够得到符合我们期望的输出，我们要进行如下的操作。
（一）、前向传播
1.输入层--->隐含层
计算神经元h1的输入加权和
神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：
同理，可计算出神经元h2的输出o2：
2.隐含层--->输出层
计算输出层神经元的输出值：
这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。
（二）反向传播
1.计算总的误差
代价函数被用来计算ANN输出值与实际值之间的误差。常用的代价函数是二次代价函数（Quadratic cost function）：
对于两个输入，总误差是两个误差的和：
2.从隐含层--->输出层的权值更新
以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）
我们这样就从整体误差传播到了w5（误差和梯度之间的联系）。一个神经元里面是两块部分，前边是net和权重w有关，后边是out，和你的输出是有关系的。具体的细节图如下：
下面分别计算公式中的每一项：
最后，把计算的三个结果乘起来：
这样，我们就得到了整体误差对w5的偏导值。
把偏导数用我们的结果来替换掉，我们发现：
换个误差表示，输出层的误差：
这样整体误差对w5的偏导公式可以写成：
如果输出层误差计为负的话，也可以写成：
最后，利用下面的公式来更新w5的值：
更新w6,w7,w8的情况和上面的相似。
（3）隐含层--->隐含层的权值更新
计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。相比之下多了运算步骤。
求得的结果：
接下来计算
,
:
最后三者相乘：
公式简化：
利用公式更新w1的值：
同理，可更新w2,w3,w4的权值。
我们要不断地对这个网络进行迭代计算从而来更新我们的权值，来不断的降低误差。在迭代10000次之后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99])。
具体的算法理论推导可以看下这篇博客，推导的很详细：
https://blog.csdn.net/u014313009/article/details/51039334
三、算法实现
# coding:utf-8
import random
import math
#
# 参数解释：
# "pd_" ：偏导的前缀
# "d_" ：导数的前缀
# "w_ho" ：隐含层到输出层的权重系数索引
# "w_ih" ：输入层到隐含层的权重系数的索引
class NeuralNetwork:
LEARNING_RATE = 0.5
def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights=None, hidden_layer_bias=None,
output_layer_weights=None, output_layer_bias=None):
self.num_inputs = num_inputs
self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias)
self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias)
self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights)
self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights)
def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights):
weight_num = 0
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
for i in range(self.num_inputs):
if not hidden_layer_weights:
self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random())
else:
self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num])
weight_num += 1
def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights):
weight_num = 0
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
if not output_layer_weights:
self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random())
else:
self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num])
weight_num += 1
def inspect(self):
print('------')
print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs))
print('------')
print('Hidden Layer')
self.hidden_layer.inspect()
print('------')
print('* Output Layer')
self.output_layer.inspect()
print('------')
def feed_forward(self, inputs):
hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs)
return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs)
def train(self, training_inputs, training_outputs):
self.feed_forward(training_inputs)
# 1. 输出神经元的值
pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons)
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
# ∂E/∂zⱼ
pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[
o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o])
# 2. 隐含层神经元的值
pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons)
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
# dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ
d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * \
self.output_layer.neurons[o].weights[h]
# ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂
pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * \
self.hidden_layer.neurons[
h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input()
# 3. 更新输出层权重系数
for o in range(len(self.output_layer.neurons)):
for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)):
# ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ
pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[
o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho)
# Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
# 4. 更新隐含层的权重系数
for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)):
for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)):
# ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ
pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[
h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih)
# Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ
self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight
def calculate_total_error(self, training_sets):
total_error = 0
for t in range(len(training_sets)):
training_inputs, training_outputs = training_sets[t]
self.feed_forward(training_inputs)
for o in range(len(training_outputs)):
total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o])
return total_error
class NeuronLayer:
def __init__(self, num_neurons, bias):
# 同一层的神经元共享一个截距项b
self.bias = bias if bias else random.random()
self.neurons = []
for i in range(num_neurons):
self.neurons.append(Neuron(self.bias))
def inspect(self):
print('Neurons:', len(self.neurons))
for n in range(len(self.neurons)):
print(' Neuron', n)
for w in range(len(self.neurons[n].weights)):
print(' Weight:', self.neurons[n].weights[w])
print(' Bias:', self.bias)
def feed_forward(self, inputs):
outputs = []
for neuron in self.neurons:
outputs.append(neuron.calculate_output(inputs))
return outputs
def get_outputs(self):
outputs = []
for neuron in self.neurons:
outputs.append(neuron.output)
return outputs
class Neuron:
def __init__(self, bias):
self.bias = bias
self.weights = []
def calculate_output(self, inputs):
self.inputs = inputs
self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input())
return self.output
def calculate_total_net_input(self):
total = 0
for i in range(len(self.inputs)):
total += self.inputs[i] * self.weights[i]
return total + self.bias
# 激活函数sigmoid
def squash(self, total_net_input):
return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input))
def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output):
return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input();
# 每一个神经元的误差是由平方差公式计算的
def calculate_error(self, target_output):
return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2
def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output):
return -(target_output - self.output)
def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self):
return self.output * (1 - self.output)
def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index):
return self.inputs[index]
# 文中的例子:
nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35,
output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6)
for i in range(10000):
nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09])
print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9))
# 另外一个例子，可以把上面的例子注释掉再运行一下:
# training_sets = [
# [[0, 0], [0]],
# [[0, 1], [1]],
# [[1, 0], [1]],
# [[1, 1], [0]]
# ]
# nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1]))
# for i in range(10000):
# training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets)
# nn.train(training_inputs, training_outputs)
# print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))