（本文为自我总结的BP神经网络学习笔记，读者可能会有些地方不懂或者认为有错误的地方，请留言赐教或交流）
神经网络的构成为：输入层、隐含层、输出层；
每层都含有数个神经元；
X1,X2，……,Xn 为输入层神经元，其中n为神经元的个数；
h1,h2，……,hp为隐含层神经元，其中p为隐含层神经元的个数；
隐层神经元的个数一般是由经验确定无固定公式，参照：p = √(n + m) + a，
其中,n为输入层神经元个数, m为输出层神经元个数, a为[1,10]之间的常数
y1,y2，……,ym 为输出层神经元，其中m为输出层神经元的个数；
每层神经元有加权值w和截距b参数；（这里类似于一次函数的转换关系）
这里权值w和截距b一般选择在[0,1]之间的随机数；
激励函数：隐含层和输出层神经元中的每个神经元都有激励函数，一般激励函数都用sigmoid函数，这个函数的输出在[0,1]或者[-1,1]之间；
正向传递过程是（以单个隐含层为例）：输入层，经过加权加参后，作为隐含层的输入，传入隐含层，经过隐含层的激励函数得到隐含层的输出，这个输出经过加权加参，作为输出层的输入，再经过输出层神经元的激励函数，得到输出；
反向训练：这个过程是通过训练函数，从实际输出值与目标输出值的误差出发，计算每个权值w和截距b对误差的影响，通过反复迭代，从而反复修改这两个参数，最后使训练集数据的实际输出与目标输出的误差达到最小；
训练函数有几种： 1，traingd;（标准BP算法）
2，traingdm;（增加动量法）
3，traingdx;（自适应学习率）
4，trainrp;（弹性BP算法）
5，trainlm;（Levenberg-Marquardt，也称为L-M算法，经常用这个）
接下来，介绍神经网络的步骤：
1. 首先进行初始化，即确定要输入数据所对应的目标输出，加权值w和截距b；
2. 正向传递，即输入数据通过隐含层和输出层得到实际输出；
这里在输入的数据中，需要对数据进行归一化，因为sigmoid函数的输出在[0,1]或者[-1,1]之间；
3. 误差反向传播，即计算实际输出与目标输出的误差，然后通过训练函数反向训练，计算w和b对误差的影响；
4. 修改权值，即通过计算后得到影响则对其修改，实际计算中有个学习速率作为其修改参数；
5. 重新验证误差精度；
重复上诉步骤进行迭代。
泛化过程：最后得到训练好的神经网络之后，利用新的数据作为输入，得到的输出就是我们想要的输出。
在故障诊断中的应用：
例如在正常数据的输出为（0,0,0），故障类别中规定了（1,0,0）（0,1,0）（0,0,1）这三种故障；
那么我们只需要选取的输出神经元个数为3（注意：这里的3不是对应三种，而是对应的3个输出值）；
例如我们通过一个（21,9,3）结构的神经网络（21为输入层神经元个数，9为隐含层神经元个数，3为输出层神经元个数）；
输入21个特征数据得到输出为（0.11, 0.95，0.12），那么我们通过误差计算就可以判定为是第二种（0,1,0）故障类别。
下面举个matlab例子，引荐于：https://www.cnblogs.com/sallybin/p/3169572.html
根据表1，预测序号15的跳高成绩。
表1 国内男子跳高运动员各项素质指标
序号 |
跳高成绩() |
30行进跑(s) |
立定三级跳远() |
助跑摸高() |
助跑4—6步跳高() |
负重深蹲杠铃() |
杠铃半蹲系数 |
100 (s) |
抓举 () |
1 |
2.24 |
3.2 |
9.6 |
3.45 |
2.15 |
140 |
2.8 |
11.0 |
50 |
2 |
2.33 |
3.2 |
10.3 |
3.75 |
2.2 |
120 |
3.4 |
10.9 |
70 |
3 |
2.24 |
3.0 |
9.0 |
3.5 |
2.2 |
140 |
3.5 |
11.4 |
50 |
4 |
2.32 |
3.2 |
10.3 |
3.65 |
2.2 |
150 |
2.8 |
10.8 |
80 |
5 |
2.2 |
3.2 |
10.1 |
3.5 |
2 |
80 |
1.5 |
11.3 |
50 |
6 |
2.27 |
3.4 |
10.0 |
3.4 |
2.15 |
130 |
3.2 |
11.5 |
60 |
7 |
2.2 |
3.2 |
9.6 |
3.55 |
2.1 |
130 |
3.5 |
11.8 |
65 |
8 |
2.26 |
3.0 |
9.0 |
3.5 |
2.1 |
100 |
1.8 |
11.3 |
40 |
9 |
2.2 |
3.2 |
9.6 |
3.55 |
2.1 |
130 |
3.5 |
11.8 |
65 |
10 |
2.24 |
3.2 |
9.2 |
3.5 |
2.1 |
140 |
2.5 |
11.0 |
50 |
11 |
2.24 |
3.2 |
9.5 |
3.4 |
2.15 |
115 |
2.8 |
11.9 |
50 |
12 |
2.2 |
3.9 |
9.0 |
3.1 |
2.0 |
80 |
2.2 |
13.0 |
50 |
13 |
2.2 |
3.1 |
9.5 |
3.6 |
2.1 |
90 |
2.7 |
11.1 |
70 |
14 |
2.35 |
3.2 |
9.7 |
3.45 |
2.15 |
130 |
4.6 |
10.85 |
70 |
15 |
3.0 |
9.3 |
3.3 |
2.05 |
100 |
2.8 |
11.2 |
50 |
代码：
P=[3.2 3.2 3 3.2 3.2 3.4 3.2 3 3.2 3.2 3.2 3.9 3.1 3.2;9.6 10.3 9 10.3 10.1 10 9.6 9 9.6 9.2 9.5 9 9.5 9.7;
3.45 3.75 3.5 3.65 3.5 3.4 3.55 3.5 3.55 3.5 3.4 3.1 3.6 3.45;
2.15 2.2 2.2 2.2 2 2.15 2.14 2.1 2.1 2.1 2.15 2 2.1 2.15;
140 120 140 150 80 130 130 100 130 140 115 80 90 130;
2.8 3.4 3.5 2.8 1.5 3.2 3.5 1.8 3.5 2.5 2.8 2.2 2.7 4.6;
11 10.9 11.4 10.8 11.3 11.5 11.8 11.3 11.8 11 11.9 13 11.1 10.85;
50 70 50 80 50 60 65 40 65 50 50 50 70 70];
T=[2.24 2.33 2.24 2.32 2.2 2.27 2.2 2.26 2.2 2.24 2.24 2.2 2.2 2.35];
%分别对输入和输出进行归一化处理
[p1,ps] = mapminmax(P);
[t1,pst] = mapminmax(T);
%旧版本的归一化处理方式：[p1,minp,maxp,t1,mint,maxt]=premnmx(P,T);
%创建网络
net = feedforwardnet([6,1],'trainlm');
%这里6代表隐含层神经元个数，1代表输出层神经元个数，'trainlm'是我们的训练函数
%旧版本的创建网络方式：net=newff(minmax(P),[8,6,1],{'tansig','tansig','purelin'},'trainlm');
%设置训练次数
net.trainParam.epochs = 1000;
%设置收敛误差
net.trainParam.goal=0.0000001;
%训练网络
[net,tr]=train(net,p1,t1);
%输入数据
a=[3.0;9.3;3.3;2.05;100;2.8;11.2;50];
%将输入数据归一化
[a,psa]=mapminmax(a);
%放入到网络输出数据，也就是上文中泛化过程
b=sim(net,a);
%将得到的数据反归一化得到预测数据
c=mapminmax('reverse',b,pst) ;%这里pst是归一化方式，反归一化按照上面输出T的归一化方式进行反归一化
c
下面是运行结果，注：不同的训练函数运行的结果不同，迭代次数也不同，我们应用的trainlm算法迭代次数最少
c =
2.2771
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参考文献：大数据在滚动轴承故障诊断中的应用研究_白广晨