集合论第一章 4 子集

4.1 子集的定义

集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，当且仅当 $A$ 中的元素都是 $B$ 中的元素，即当且仅当：
$\forall x (x \in A \implies x \in B)$
记为 $A \subseteq B$ 。
集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，当且仅当 $A$ 是集合 $B$ 的子集，且它们不相等，即当且仅当：
$A \subseteq B \land A \neq B$
记为 $A \subset B$ 。

4.2 子集的性质

对于任意的集合 $A, B, C,$ 子集关系有如下性质：

1. 自反性： $A \subseteq A$
2. 反对称性： $A \subseteq B \land B \subseteq A \implies A = B$
3. 传递性： $A \subseteq B \land B \subseteq C \implies A \subseteq C$

定理 1

空集是任意一个集合的子集。即：
$\forall A, \varnothing \subseteq A$

4.3 子集公理

在上一节我们知道，并不是任意一个条件 $C(x)$ 都能确定一个集合。那么在一个已知集合的内部满足条件 $C(x)$ 的所有的 $x$ 总该组成一个集合了吧？这就是以下的公理：

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公理三 子集公理

对于任意一个条件 $C(x),$ 对于任意一个集合 $B,$ 存在一个集合 $A$ 满足：

1. 符号 $A$ 不出现在 $C(x)$ 中。
2. $A$ 恰好包含 $B$ 中的所有满足条件 $C(x)$ 的元素。即：
   $\forall x (x \in A\iff x \in B \land C(x))$

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按照上一节的规定，我们记：
$A = \{ x | x \in B \land C(x)\}$
为了强调 $A$ 是 $B$ 的子集，上式也可记为：
$A = \{x \in B | C(x)\}$

4.4 子集公理的性质

子集公理可以推出一些很有意义的结果：

4.4.1 性质一

子集公理中的集合 $A$ 是唯一的。

证明

由于 $x \in B \land C(x)$ 也是一个条件，由集合论条件的性质 可得。

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4.4.2 性质二

不存在“万有集”，即不存在包含一切集合的集合。

证明

对于任意一个集合 $B,$ 根据子集公理，存在一个集合 $A,$ 使得
$\forall x (x \in A\iff x \in B \land x \not \in x)$
取 $x = A,$ 则：
$A \in A\iff A \in B \land A \not \in A$
则 $A \not \in B,$ 否则假设 $A \in B,$ 则：
$A \in A\iff A \not \in A$
矛盾。因此 $A \not \in B,$ 因此 $B$ 不是“万有集”。

4.4.3 推论

不存在集合 $\{ x | x = x \}$

证明

若存在集合 $A = \{ x | x = x \},$ 则 $A$ 是“万有集”，与性质二矛盾。