一、 直积运算
集合在我们一进高中就已学过，其中我们掌握了集合的定义、集合间的关系，集合间的运算（交集，并集，补集，差集）。这里，我们学习一种新的运算，直积运算（笛卡尔乘积）。
首先，我们引入有序偶的概念。有序偶，是有先后次序的一对元素，常用$(a,b)$来表示元素$a$, $b$组成的有序偶。其中$a$，$b$分布叫作$(a,b)$的第一和第二坐标。
那么，直积运算可由有序偶定义。
定义 设$A$和$B$均为集合。$A$和$B$的直积集合$A\times B$是指有序偶的集合
$$C=A\times B=\{(a,b)| a\in A, b\in B\}.$$
直积运算在量子力学中的经常遇到，我们经常将宇宙拆分成我们所关心的系统和环境的直积。
二、 映射
映射的概念我们在高中也是熟悉的，下面来介绍一些新的概念。
定义 设$A_1\subset A$，且有两个映射$f: A\rightarrow B$和$g: A_1\rightarrow B$，此时如果对所有的$a_1\in A_1$，有$f(a_1)=g(a_1)$，那么称$f$为$g$到$A$的扩大，而$g$则为$f$到$A_1$的缩小，记为
$$g=f_{|A_1}$$.
定义 设$f: A\rightarrow B$，且$g: B\rightarrow C$，此时由$h(a)=g\left(f(a)\right)$与$a\in A$来定义映射$h:A\rightarrow C$，那么称$h$为$f$和$g$的结合，记作
$$h=g\circ f$$.