HDU-5974 A Simple Math Problem

【HDU-5974 A Simple Math Problem】

题意：
给定两个数（a，b）, 这两个数互质。目前已知【x+y=a, x*y/gcd(x,y)=b】求（x， y）
分析：
先说结论：两个互质的数他们的乘积和加和也互质，即有gcd（x, y） = gcd （a, b）
证明：
引论1：若m, n互质，那么m和m+n也互质
反证法：假设：若m, n互质，m和m+n不互质。
那么m和m+n一定存在一个公约数p，有:

 m = k1 * q
 (m + n) = k2  * q

那么n可以表示为：

n = (m + n) - m = k2 * q - k1 * q = (k2 - k1) * q

与m和n互质相矛盾。引论1证毕。
引论2：唯一分解定理，一个数可以分解成若干素数的乘积

开始证明：
设有两个互质的数（a, b）
根据引论2：

a = p1 * p2 * p3 * p4......* pn;
b = q1 * q2 * q3 * q4......*qm;

根据引论1：
a和a+b互质， b和a+b互质。
那么

a*b = p1 * q1 * p2 * q2 ..... pn *qm

所以：两个互质的数他们的乘积和加和也互质。
那么我们可以得到结论：

gcd(x, y)  = (a+b, a*b/gcd(a,b)) = gcd(a, b)

对于这道题：
我们可以得到

x + y = a
x * y / gcd (x, y) = b

假设g = gcd (x, y) = gcd (a, b)
那么

x + y = a
x * y = b*g

求解一元二次方程。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _ long long

_ gcd (_ a, _ b) {
    return b == 0 ? a : gcd (b, a%b);
}

int main () {
    _ a, b;
    while (scanf("%lld%lld", &a, &b) != EOF) {
        _ g = gcd (a, b);
        _ ag = a/g;
        _ bg = b/g;

        _ detla = (ag*ag) - 4*bg;
        if (detla < 0 || ((_)sqrt(detla)*sqrt(detla) != detla)) {
            printf ("No Solution\n");
            continue;
        }
       
        _ tdetla = sqrt(detla);
         
        _ y1 = (ag + tdetla)/2;
        _ y2 = (ag - tdetla)/2;
        bool flag = false;
        if ((y1 > 0 && y1 * 2 == ag + tdetla)) {
            _ x1 = ag - y1;
            if (x1 > 0) {
                printf ("%lld %lld\n", x1*g, y1*g);
                flag = true;
            }
        }

        if (!flag && y2 > 0 && y2 * 2 == ag - tdetla) {
            _ x2 = ag - y2;
            if (x2 > 0) {
                printf ("%lld %lld\n", x2*g, y2*g);
                flag = true;
            }
        }
        
        if (!flag) {
            printf ("No Solution\n");
        }
    }
    return (int)0;
}

HDU-5974 A Simple Math Problem

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