A Simple Math Problem HDU - 5974

Given two positive integers a and b,find suitable X and Y to meet the conditions:
                                                        X+Y=a
                                              Least Common Multiple (X, Y) =b

Input
Input includes multiple sets of test data.Each test data occupies one line,including two positive integers a(1≤a≤2*10^4),b(1≤b≤10^9),and their meanings are shown in the description.Contains most of the 12W test cases.
Output
For each set of input data,output a line of two integers,representing X, Y.If you cannot find such X and Y,output one line of “No Solution”(without quotation).
Sample Input

6 8
798 10780

Sample Output

No Solution
308 490

题意：

要我们求解xy使得
$x+y=a$
$lcm(x,y) = b$
如果能找到一组解输出x y，否则输出“No Solution”

分析：

首先我们对二式变一下型

$lcm(x,y) = b$

$\downarrow$

$\frac{x \cdot y}{gcd(x,y)} = b$

$\downarrow$

$x \cdot y = b \cdot gcd(x,y)$
$x+y = a$

$\downarrow$

$x \cdot (a-x) = b \cdot gcd(x,y)$

$\downarrow$

$x^2 - ax + b \cdot gcd(x,y) = 0$

所以题目转化成了求解这个二次方程，看似一元二次方程
但是其中还有一个大问题就是 $gcd（x，y）$ 怎么求？或者说我们可以怎么表示 $gcd（x，y）$

下面我们对 $x,y$ 进行分析：

设 $g = gcd(x,y)$

则:

$x = k_1 \cdot g$

$y = k_2 \cdot g$

因为g是x，y的最大公因数那么 $k_1,k_2$ 一定是互质的数

我们代回最初的方程组中得到

\begin{matrix} (67) & {\begin{array}{lr} k_{1} \cdot g + k_{2} \cdot g = a \\ k_{1} \cdot g \cdot k_{2} \cdot g = b \end{array} \end{matrix}

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} k_1 \cdot g + k_2 \cdot g = a & \\ k_1 \cdot g \cdot k_2 \cdot g = b \end{array} \right. \end{equation}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow$

\begin{matrix} (121) & {\begin{array}{lr} k_{1} + k_{2} = \frac{a}{g} \\ k_{1} \cdot k_{2} = \frac{b}{g} \end{array} \end{matrix}

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} k_1+ k_2 = \frac{a}{g} & \\ k_1 \cdot k_2 = \frac{b}{g} \end{array} \right. \end{equation}$

因为 $k_1,k_2$ 是互质的，那么 $k_1+k_2,k_1 \cdot k_2$ 是互质的

下面给出该结论的证明：

$p，q$ 是互质的两个整数

$M = p+q，N = pq$

假设M,N不是互质的

那么必有 $M = aN$ 或 $N = aM$ a为整数

我们以 $M = aN$ 为例，则原式等于 $p+q = apq$

$p = q(ap-1)$

$\frac{p}{q} = ap-1$

因为p，q互质所以 $\frac{p}{q}$ 一定不会得到整数

但是a是整数，p是整数，则ap-1是整数

所以等式两边相矛盾故：

若p,q是互质的，那么p+q和pq也是互质的

\begin{matrix} (171) & {\begin{array}{lr} k_{1} + k_{2} = \frac{a}{g} \\ k_{1} \cdot k_{2} = \frac{b}{g} \end{array} \end{matrix}

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} k_1+ k_2 = \frac{a}{g} & \\ k_1 \cdot k_2 = \frac{b}{g} \end{array} \right. \end{equation}$

那么有了这个结论说明 $\frac{a}{g}$ 和 $\frac{b}{g}$ 是互质的，那么g就是a，b的最大公因数

也就是 $gcd(a,b) = gcd(x,y)$

所以该题目转变成

求解一元二次方程 $x^2 - ax + b \cdot gcd(a,b) = 0$

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
int a,b;
int main(){
    while(scanf("%d%d",&a,&b) != EOF){
        int diat = a * a - 4 * b * gcd(a,b);
        if(diat < 0){
            printf("No Solution\n");
        }
        else{
            int p = (int)sqrt(1.0*diat);
            if(p * p != diat){
                printf("No Solution\n");
            }
            else{
                int x1 = (a + p) / 2;
                int x2 = (a - p) / 2;
                int x = min(x1,x2);
                printf("%d %d\n",x,a-x);
            }
        }
    }
    return 0;
}