以下内容部分转载于https://blog.csdn.net/xp731574722/article/details/70766804,本人对其补充。
0-1 背包问题:给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。
问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?
分析一波,面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择,不能选择装入某物品的一部分,也不能装入同一物品多次。
解决办法:声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组,m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ,那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法,
(1). j < w[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
(2). j>=w[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取,m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为j-w[i]时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿,m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同(1)
究竟是拿还是不拿,自然是比较这两种情况那种价值最大。
由此可以得到状态转移方程:
-
if(j>=w[i])
-
m[i][j]=max(m[i -1][j],m[i -1][j-w[i]]+v[i]);
-
else
-
m[i][j]=m[i -1][j];
价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2},
重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1},
背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
2 | 0 | 0 | 0 | 8 | 8 | 10 | 10 | 10 | 10 | 18 | 18 | 18 |
3 | 0 | 6 | 6 | 8 | 8 | 14 | 14 | 16 | 16 | 18 | 18 | 24 |
4 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 14 | 14 | 17 | 17 | 19 | 19 | 24 |
5 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 14 | 14 | 17 | 17 | 19 | 21 | 24 |
6 | 2 | 6 | 8 | 9 | 11 | 14 | 16 | 17 | 19 | 19 | 21 | 24 |
如m[2][6],在面对第二件物品,背包容量为6时我们可以选择不拿,那么获得价值仅为第一件物品的价值8,如果拿,就要把第一件物品拿出来,放第二件物品,价值10,那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推,得到m[6][12]就是考虑所有物品,背包容量为C时的最大价值。
c++代码
-
-
-
using namespace std;
-
-
-
const int N= 15;
-
-
-
int main()
-
{
-
int v[N]={ 0, 8, 10, 6, 3, 7, 2};
-
int w[N]={ 0, 4, 6, 2, 2, 5, 1};
-
-
-
int m[N][N];
-
int n= 6,c= 12;
-
memset(m, 0, sizeof(m));
-
for( int i= 1;i<=n;i++)
-
{
-
for( int j= 1;j<=c;j++)
-
{
-
if(j>=w[i])
-
m[i][j]=max(m[i -1][j],m[i -1][j-w[i]]+v[i]);
-
-
-
else
-
m[i][j]=m[i -1][j];
-
}
-
}
-
-
-
for( int i= 1;i<=n;i++)
-
{
-
for( int j= 1;j<=c;j++)
-
{
-
cout<<m[i][j]<< ' ';
-
}
-
cout<< endl;
-
}
-
-
-
return 0;
-
}
c语言代码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 100
int p[N]={0,8,10,6,3,7,2};
int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};
int m[N][N]={0};
int max(int ,int);
int main(){
int n,c;
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&c);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=c;j++){
if(j>=w[i]) m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+p[i]);
else m[i][j]=m[i-1][j];
}
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=c;j++)
printf("%2d ",m[i][j]);
printf("\n");
}
printf("%d\n",m[n][c]);
return 0;
}
int max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
到这一步,可以确定的是可能获得的最大价值,但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。
另起一个 x[ ] 数组,x[i]=0表示不拿,x[i]=1表示拿。
m[n][c]为最优值,如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样,则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时,由x[n-1][c]继续构造最优解;当x[n]=1时,则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推,可构造出所有的最优解。
这段代码解释:m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为 j 时所能获得的最大价值,那么每个m[i][j]对应的都是最大价值,m[i][j]初始值都是0,则遍历所有m[i][j],只要不等于0,就表示装进背包,x[i]=1.以下代码就是根据这个这个核心来编写的。
-
void traceback()
-
{
-
for( int i=n;i> 1;i--)
-
{
-
if(m[i][c]==m[i -1][c])//两者最大值相同,表明i没装进背包
-
x[i]= 0;
-
else
-
{
-
x[i]= 1;
-
c-=w[i];
-
}
-
}
-
x[ 1]=(m[ 1][c]> 0)? 1: 0;
-
}
例:
某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目,每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示,投资总额为30万元,如何选择项目才能使总收益最大?
Project |
Wk |
Vk |
A |
15 |
12 |
B |
10 |
8 |
C |
12 |
9 |
D |
8 |
5 |
-
-
-
using namespace std;
-
-
const int N= 150;
-
-
int v[N]={ 0, 12, 8, 9, 5};
-
int w[N]={ 0, 15, 10, 12, 8};
-
int x[N];
-
int m[N][N];
-
int c= 30;
-
int n= 4;
-
void traceback()
-
{
-
for( int i=n;i> 1;i--)
-
{
-
if(m[i][c]==m[i -1][c])
-
x[i]= 0;
-
else
-
{
-
x[i]= 1;
-
c-=w[i];
-
}
-
}
-
x[ 1]=(m[ 1][c]> 0)? 1: 0;
-
}
-
-
int main()
-
{
-
-
-
memset(m, 0, sizeof(m));
-
for( int i= 1;i<=n;i++)
-
{
-
for( int j= 1;j<=c;j++)
-
{
-
if(j>=w[i])
-
m[i][j]=max(m[i -1][j],m[i -1][j-w[i]]+v[i]);
-
-
else
-
m[i][j]=m[i -1][j];
-
}
-
} /*
-
for(int i=1;i<=6;i++)
-
{
-
for(int j=1;j<=c;j++)
-
{
-
cout<<m[i][j]<<' ';
-
}
-
cout<<endl;
-
}
-
*/
-
traceback();
-
for( int i= 1;i<=n;i++)
-
cout<<x[i];
-
return 0;
-
}
c语言代码:
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 100
int p[N]={0,12,8,9,5};
int w[N]={0,15,10,12,8};
int m[N][N]={0};
int x[N]={0};
int max(int ,int);
void choose(int ,int );
int main(){
int n,c;
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&c);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=c;j++){
if(j>=w[i]) m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+p[i]);
else m[i][j]=m[i-1][j];
}
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=c;j++)
printf("%2d ",m[i][j]);
printf("\n");
}
printf("%d\n",m[n][c]);
choose(n,c);
for(i=1;i<=n;i++) {
printf("%d ",i);
}
printf("\n");
for(i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",x[i]);
return 0;
}
int max(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
void choose(int n,int c){
int i;
for(i=n;i>1;i--)
if(m[i][c]==m[i-1][c]) x[i]=0;
else {
x[i]=1;
c-=w[i];
}
x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}
前面两个例题只要修改相应的数值即是各例题的代码。
输出x[i]数组:0111,输出m[4][30]:22。
得出结论:选择BCD三个项目总收益最大,为22万元。
不过这种算法只能得到一种最优解,并不能得出所有的最优解。