背包问题

简述
- 一个很著名的动态规划问题，也称为0-1背包问题。
问题描述
- 有N个重量为w1，w2，w3，，，wn、价值为v1，v2，v3，，，vn的物品和一个承重量为W的背包，求让背包里装入的物品具有最大的价值总和的物品子集。
- 看到这种最优解求解的题目，很容易想到动态规划思路。
问题分析
- 总体思路
  - 为了设计动态规划算法，需要推导出一个递推关系以构造递归函数，用较小子问题的解的形式来表示背包问题的当前问题的解。
- 首先考虑一个有前i(1<=i<=N)个物品定义的实例，物品的重量分别为w1，w2，，，wi，价值为v1，v2，，，vi，背包目前的承重量为j(1<=j<=W)。
- 设F(i,j)为组成该实例最优解的物品的总价值，也就是说能够放进承重量为j的背包中的前i个物品中最有价值的子集的总价值。（注意，在这里还没有出现题目想要的解的形式，）
- 在这里，可以把前i个物品中能够放进承重量为j的背包中的子集分为两种类别：包括第i个物品的子集和不包括第i个物品的子集。于是可以得到以下结论：
  - 根据定义，在不包括第i个物品的子集中，最优子集的价值是F(i-1,j)。
  - 在包括第i个物品的子集中（j-wi>=0)，最优子集为该物品和前i-1个物品中能够放进承重量为j-wi的背包的最优子集组成。这种最优子集的总价值等于vi+F(i-1,j-wi)。
- 因此，在前i个物品中，最优解的总价值等于以上两种情况的最大值，这就是最优子结构了。
- 当然，如果第i个物品不能放进背包中，那么从前i个物品中选出的最优子集的总价值即等于从前i-1个物品中选出的最优子集的总价值。于是得到下面的递推式，也是状态转移函数。
  - F(i,j)=max{F(i-1,j),vi+F(i-1,j-wi)},j-wi>=0
  - F(i,j)=F(i-1,j),j-wi<0
- 同时可以得到边界。
  - F(0,j)=0,j>=0
  - F(i,0)=0,i>=0
    -至此，动态规划的三要素寻找完成，我们的目标不仅仅是求F的值，还有F取值时的物品组合。

实例分析

假设物品数量为5，背包承重量为10，各个物品信息如下表。

编号	重量w	价值v
2	6
2	3
6	5
5	4
4	6

动态规划的原理与分治法常常类似，但是分治法将子问题和子子问题反复求解多次，动态规划擅长的则是记录之前问题的解，即填表。

量
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 6, 6, 6, 6, 6, 0, 6, 0, 6]
[0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 9]
[0, 0, 0, 0, 0, 9, 9, 0, 0, 0, 14]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 0, 0, 14]
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 15]

可以看到，当输入为5,10的时候，最优解为15，这是正确的。

回溯求序列
- 一般，动态规划用来求最优解，利用递归构造可以很方便的找到最后的答案。
- 注意：一旦，动态规划的题目出现输入序列，那么就不是找到答案那么简单，除了正向找到最优解，构造解表，还要反向寻找最优解的构成。
  - 以上面这个例子为例，最后rst[5,10]是15，这是答案，此时定义一个物品长度的序列x并使每个元素为False。
  - 对表格的每一行做遍历，指定w为最高权重10.逆序遍历表格每一行，最后一行根据函数判断rst[m][w]（m为遍历下标）是否等于rst[m-1][w]若相等，则代表当前行对应的物品没有选中（原理是依据状态转移函数），否则代表选中，w-=当前行对应物品的权重，x[m]置为True，按此顺序，遍历结束。
  - 输出为True的对应下标，即为最优解序列。
  - 在这个过程中x的取值要么为True要么为False，这就是为什么叫做0-1背包问题。

代码

  def bag(i, j, w, v, out):
      if i == 0 and j >= 0:
          out[i][j] = 0
          return 0
      if i >= 0 and j == 0:
          out[i][j] = 0
          return 0
      if j - w[i-1] >= 0:
          out[i][j] = max(bag(i-1, j, w, v, out), v[i-1] + bag(i-1, j-w[i-1], w, v, out))
          return out[i][j]
      if j - w[i-1] < 0:
          out[i][j] = bag(i-1, j, w, v, out)
          return out[i][j]
  
  
  def search(rst, i, j):
      x = [False for m in range(i+1)]
      for m in range(i, -1, -1):
          if rst[m][j] == rst[m-1][j]:
              # 此时代表没有选中当前
              pass
          else:
              x[m] = True
              j -= w[m-1]
      for i in range(len(x)):
          if x[i]:
              print("选择了第{}个物品".format(i))
  
  
  if __name__ == '__main__':
      # 物品数目
      i = 5
      # 背包容量
      j = 10
      # 物品信息
      w = [2, 2, 6, 5, 4]
      v = [6, 3, 5, 4, 6]
      # 结果存放表
      rst = [[0 for m in range(j+1)] for n in range(i+1)]
      # 计算结果，构造解集合
      bag(5, 10, w, v, out=rst)
      # 输出解集合表格
      for item in rst:
          print(item)
      # 回溯查找输入序列
      search(rst, i, j)

补充说明
- 具体代码可以查看我的Github，欢迎Star或者Fork
- 参考书《你也能看得懂的Python算法书》，书中略微有一点不合理之处，做了修改
- 到这里，其实你已经体会到了动态规划的简约之美，当然，要注意Python是有递归深度限制的，如不是必要，建议使用循环控制

动态规划算法-03背包问题

背包问题

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