动态规划
动态规划算法介绍
1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
2)动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3)与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解)
4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.
动态规划算法最佳实践-背包问题
背包问题主要是指一个给定容量的背包若干，具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包（01背包：每个物品只有一件可用）和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
背包问题案例:有一个背包,容量为4磅, 现有如下物品：
1)要求达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出4磅。
2)要求装入的物品不能重复。
思路分析:
1)这里的问题属于01背包,即每个物品最多放一个
2)算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品,根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量,再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。
则我们有下面的结果:
//表示填入表第一行和第一列是0
(1)v[i][0]=v[0][j]=0;
//当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时,就直接使用上一个单元格的装入策略
(2)当w[i]>j时: v[i][j]=v[i-1][j]
//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量时：取【方案一:上一个单元格的价值】和【方案二:装入当前商品与其他商品的价值的总和】的最大值
(3)当j>=w[j]时: v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]
//[i-1][j]：就是上一个单元格的价值
//v[i]：表示当前商品的价值
//v[i-1][j-w[i]]:在剩余j-w[i]空间里，装入【i-1】即【即i前面的某个或某几个】商品以达到价值最大化
//v[i]+v[i-1][j-w[i]]:装入当前商品与其他商品的价值的总和图解分析:
Java代码实现：
public class KnapsackProblem {//01背包问题
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000};//物品的价值
int m = 4;//背包的容量
int n = val.length;//物品的个数
//为了记录放入商品的情况，我们定义一个二维数组
int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
//创建二维数组
//v[i][j]：表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
//初始化第一行和第一列【可有可无】
for (int i = 0; i < v.length; i++) {//v.length:获取二维数组的行数
v[i][0] = 0;//将第一列设置为0
}
for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {//v[0].length：获取二维数组的列数
v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
}
//根据前面得到的公式来动态规划
for (int i = 1; i < v.length; i++) {//int i = 1 不处理第一行
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {//int j = 1 不处理第一列
if (w[i - 1] > j) {//因为我们的程序的i是从1开始，所以原来公式里的w[i]-->>w[i-1]
v[i][j] = v[i - 1][j];//v[1][1]从第二行第二个开始
} else {
//因为我们的程序的i是从1开始,因此要调整：
//为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，，需要使用if-else语句
if (v[i - 1][j] < (val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]])) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把当前情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
//输出二维数组：
for (int[] ints : v) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
//输出最后我们是放入的那些商品
int i = path.length - 1;//行的最大下标
int j = path[0].length - 1;//列的最大下标
while (i > 0 && j > 0) {//从path的最后开始找
if (path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入背包\n", i);
j -= w[i - 1];
}
i--;
}
}
}长风破浪会有时，直挂云帆济沧海！