程序员必须会的基本算法1-动态规划算法(以经典的01背包问题为例)

先说01背包问题的背景:现在有一个背包,容量是4,物品有三个,重量和价格如下

现在要求将物品装入,使背包价值最大,但是每一样物品不能重复装,而且不能超出背包容量.

这里就需要用到动态规划算法,需要创建一个二维数组

数组的行表示背包的容量,最大是4,我们从0开始算,放入什么使背包价值最大,

数组的列表示可以放入背包的物品,只要在这一行的上面,都是可以放入背包的物品

先定义value数组是物品的价值,weight数组是物品的大小,size表示背包的容量

下面有这样的规律:

arr[i][0]=arr[0][j]=0; 

就是表格的第一行和第一列都是0,第一行表示没有物品可以放,第一列表示背包的容量是0

当weight[i]>size时:arr[i][j]=arr[i-1][j]

这个就是下一个商品可以加入背包的时候,如果这个商品的容量大于现在背包假设的容量,就直接采取上一个的装包方法

当weight[i]<=size时:arr[i][j]=max(arr[i-1][j]   ,value[i]+arr[i-1][size-weight[i])

当下一个商品可以加入背包的时候,如果这个商品的容量小于或等于现在背包的假设容量,就从两个值里面取最大的

一个是上一个方法的装包的价值,另外一个是这个新商品的价值加上剩下容量可以装的商品的的最大价值

package basic;

public class Dynamic
{
	/*
	 * 动态规划算法(Dynamic Programming),核心是:大问题划分成小问题进行解决,从而一步步获得最优解
	 * 和分治算法相似:其基本思想也是将要求解的问题分成若干个子问题,求解子问题,
	 * 				 然后从这些子问题的解得到原问题的解
	 * 	     不同的是:动态规划如其名,分解出来的子问题不是相互独立的,下一个子问题的求解是建立在
	 * 				 上一个子问题的最优解的基础之上的
	 * 和动态规划算法相关的经典问题是背包问题:
	 * 是指一个指定容量的背包,若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包,
	 * 使背包的物品价值最大,但是 又不能超过背包的容量
	 * 背包问题分为:
	 * 				01背包  :就是每一个物品只能放一个
	 * 				完全背包:每一种物品可以无限件可以用,可以转化成01背包求解
	 */
	public static void main(String[] args)
	{
		//下面分别表示物品的价值,重量和包的大小
		int[] value  = {1500,3000,2000};
		int[] weight = {1   ,4   ,3   };
		int size=4;
		
		//进行动态规划找最大价值的arr数组和标记加入哪一件商品的path数组
		int[][] arr =new int[value.length+1][size+1];
		int[][] path=new int[value.length+1][size+1];
		
		//本来应该初始化arr的第一行和第一列,使他们都为0,但是默认就是0,所以不初始化了
		//下面进行动态规划,第一行和第一列可以直接跳过,
		//each代表的是每一个可以加入的商品,weig代表的是背包的假设容量
		for (int each = 1; each < arr.length; each++)
		{
			for(int weig=1 ;weig<arr[0].length ; weig++)
			{
				//如果要加入的商品的大小超过背包的假设容量,就直接采取上一级的方法
				if(weight[each-1]>weig)
				{
					arr[each][weig]=arr[each-1][weig];
				}
				else
				{
					//如果加入的商品小于或等于背包假设容量,就要就从两个值里面取最大的
					//一个是上一个方法的装包的价值,另外一个是这个新商品的价值加上剩下
					//容量可以装的商品的的最大价值
					if(arr[each-1][weig]<(value[each-1]+arr[each-1][weig-weight[each-1]]))
					{
						arr[each][weig]=(value[each-1]+arr[each-1][weig-weight[each-1]]);
						path[each][weig]=1;
					}
					else
					{
						arr[each][weig]=arr[each-1][weig];
					}
				}
			}
		}
		
		for(int i =0; i < arr.length;i++) 
		{
			for(int j = 0; j < arr[i].length;j++) 
			{
				System.out.print(arr[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		/*
		 * 下面是处理到底是在背包里面加入了那几件物品的,
		 * arr数组里面显然是内容值最大的就是最优的解,而且每一次arr里面的数值变大
		 * 在path数组里面都有记录,有变大就记录1,所以我们就直接可以从path数组的后面
		 * 开始找,因为arr里面数值大的在后面
		 */
		int each=path.length-1;
		int weig=path[0].length-1;
		while(each>0&&weig>0)
		{
			if(path[each][weig]==1)
			{
				System.out.println("商品"+each+"放入");
				weig=weig-weight[each-1];
			}
			each--;
		}
	}
}