Noip模拟2 2018/10/18

T1:Matrix
小z 的女朋友送给小z 一个 $n×n$的矩阵。但是矩阵实在太大了，小z 的女朋友拿不动，只能带给他两个长度为n 的整数序列l,t，分别作为矩阵F的第一行和第一列（保证 $l1=t1$)，并且告诉小z 矩阵可以通过如下方式得到： $F(i,j)=a∗F(i,j−1)+b∗F(i−1,j)$
现在小z 猜到了系数a,b，他想要计算 $F(n,n)$模 $10^9+7$的值。

忽然想不起从 $(0,0)$到 $(n,m)$的路径数了，数组开小……
对于一个 $l[i]$，通过大力推式子可以发现一定会乘上 $a^{n-1}*b^{n-i}$
对于 $t[i]$，则一定会乘上 $a^{n-i}*b^{n-1}$
然后考虑对于每一个值，会对答案造成多少贡献
可以发现，每一个值的贡献次数就是这个位置到 $(n,n)$的路径数
以该位置为起点，那么就是从 $(0,0)$到 $(n-1,n-i)$，但是第一步是固定的
那么就成了从 $(0,0)$到 $(n-1,n-i-1)$
类似蚂蚁路径，方案数为 $C(2*n-i-2,n-2)$即为对答案的贡献次数

T2：pq
小q 的女朋友送给小q n个整数。但是这些数太大了，小q 的女朋友拿不动，于是拜托小q把这些数减少一些。
小q 每次可以选择其中的两个x,y (不能同时选择同一个数) 变成x−P,y−Q，现在他希望能知道最多能帮女朋友减掉多少P,Q。

设 $f[i][j][k]$表示处理到第 $i$个数，还有 $j$个 $P$， $k$个 $Q$没处理，存的是已经处理的个数
可以发现，如果 $P$的个数为 $0$，那么 $Q$的个数的最大值不会超过 $2000$
如果 $Q$的个数为 $0$，那么 $P$的个数的最大值不会超过 $2000$
如果都不为零，那么 $P,Q$的个数都不会超过 $40$
根据这个性质，我们可以暴力把 $s[i]$拆成 $x$个 $P$， $y$个 $Q$
分类讨论 $x$和 $j$， $y$和 $i$的大小，然后统计答案
但是数组 $50*2000*2000$会炸，因为每一次只会有 $i-1$对答案造成贡献，可以把i滚动掉
时间效率 $O(n*(2000+2000+40^2)*50)$

T3：graph
小f 的女朋友送给小f 一个有n个点m条边的无向图。但是这个无向图太大了，小f 的女朋友拿不动，于是小f 希望只保留图的一部分。在这张图上，对于第i条边 $ui,vi$，从 $ui$ 到 $vi$的代价为 $ai$，从 $vi$到 $ui$的代价为 $bi$。
小f 希望只保留一个包含1号点的有向环(不能有重复的点)，使得环上代价之和最小。

因为环中一定有节点 $1$，那么就从1开始大力DFS，数组开够有 $65$%
那么我们可以把 $1$拆成 $2$个点，暴力枚举环上与 $1$相连的两点，取最小值，效率为 $O(n^3 \log n)$， $25$%
然后考虑优化
我们可以把与 $1$相连的点分成两部分，然后跑最短路，但是有可能最短的两个点在一个集合中，考虑优秀的分组方式
考虑按位分组，可以保证对于任意的 $Vi!=Ui$都一定会有一次分在不同的两组，需要分成 $(log n)$组，然后统计最小值即可
时间效率 $O(n \log n^2)$