Noip模拟1 2018/10/17

T1: 序列(seq)
给定 N,A,B 构造一个长度为 N 的排列，使得：
排列长度为 N；
最长上升子序列长度为 A；
最长下降子序列长度为 B。
我们有 SPJ，有解任意给出一组，否则说明无解。

感觉挺好想的，只是有解的情况没输出“Yes”，心态爆炸
先考虑N=A*B的情况
那么我们可以构造一个排列，有B个长度为A的上升子序列，满足每个子序列递减
在这么构造的情况下，若 $N>A*B || N<A+B-1$，则无解
若构造不满，先做k1个长度为A的上升子序列，最后有k2个点递减，多出来的添在 $k+1$上 $（k1+k2+1=B)$
时间效率 $O(n*t)$

T2:购物(sum)
visit_world 有一个商店，商店里卖 N 个商品，第 i 个的价格为 a[i]我们称一个正整数 K 是美妙的，当且仅当我们可以在商店里选购若干个商品，使得价格之和落在区间 [K,2K] 中。
问：有多少个美妙的数。

orzJyc,辣鸡Hz误导
假设我们已经处理到 $sum$（ $sum=\sum_{j=1}^{i}a[j]$，满足a[i]单调递增），考虑a[i]的贡献。
$a[i]$有贡献的为 $\frac {(a[i]+1)}{2}$，假如 $\frac {(a[i]+1)}{2}<=sum$，那么将 $a[i]$接在 $sum$后面和之前不会有间隙，反之则说明从 $sum+1$到 $\frac {(a[i]+1)}{2}-1$之间永远都取不到，取不到的部分记为p
那么答案就成了 $sum=\sum_{i =1}^{n}a[j]-p$
时间效率 $O(n\log n)$

T3：计数(count)
考虑一个 N 个节点的二叉树，它的节点被标上了 1∼N 的编号. 并且，编号为 i 的节点在二叉树的前序遍历中恰好是第 i 个出现.
我们定义 Ai 表示编号为 i 的点在二叉树的中序遍历中出现的位置.
现在，给出 M 个限制条件，第 i 个限制条件给出了 $ui,vi$，表示 $Aui<Avi$ ，也即中序遍历中 ui 在 vi 之前出现.
你需要计算有多少种不同的带标号二叉树满足上述全部限制条件，答案对
$10^9+7$ 取模.

此题20%卡特兰数白送。
考虑dp
$f[i][j]$表示以 $i$为头 $j$为结尾的子树可能的情况
枚举一个 $k (i<=k<=j)$，将 $i,j$分为两个子树，左子树 $i+1,k$，右子树 $k+1,j$，且左右子树均满足条件， $f[i][j]+=f[i][k]*f[k+1][j]$
这样子判断效率为 $n^4$，考虑优化判断过程
将条件 $(x,y)$映射到一个二维矩阵上，然后判断 $(k+1,j) 到 (i+1,j)$上有没有不满足的条件，矩阵前缀和一下就好
时间效率 $O(n^3*t)$