2016年ACM/ICPC沈阳赛区 I题（树形dp+斜率优化）

题目链接：https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=5642

题意：给你n个点，n-1条边的树。每条边有一个权值w。给你一个值p。

1号节点为根节点。求1号点到所有节点的路径中的最小权值的最大值。

权值计算：相当于把这条路径划分成若干段，每一段的权值为这一段的所有边的权值之和的平方。

每一段段尾如果不是目标城市，则需要支付p的费用。

思路（参考大佬博客）：容易看出来是一个树形dp，并且有一个非常显然的状态转移方程：

$dp[u]=min\left \{ dp[v]+(dis[u]-dis[v])^{2}+p \right \}$ ，其中v是树上从u到根节点路径上的点。

但是显然这样的时间复杂度在树退化成链的时候会达到 $O\left ( N^{2} \right )$ ，需要想办法来进行优化。尝试进行变形：

如果状态v和w都可以转移到状态u，那么在这种情况下，从状态v转移会更优：

$dp[v]+(dis[u]-dis[v])^{2}+p<dp[w]+(dis[u]-dis[w])^{2}+p$

$dp[v]+(dis[v])^{2}-2*dis[u]*dis[v]<dp[w]+(dis[w])^{2}-2*dis[u]*dis[w]$

$dp[v]+(dis[v])^{2}-dp[w]-(dis[w])^{2}<2*dis[u]*(dis[v]-dis[w])$

$\frac{dp[v]+(dis[v])^{2}-dp[w]-(dis[w])^{2}}{dis[v]-dis[w]}<2*dis[u]$

$\text{ let } f[x]= dp[x]+(dis[x])^{2}\text{, }\frac{f[v]-f[w]}{dis[v]-dis[w]}<2*dis[u]$

我们发现上式变成了一个斜率的形式。考虑将(dis[i], f[i])的点绘制出来，如果出现了下面的情况：

，那么通过枚举各种情况，我们可以分析出来 j 处必不可能是较优的点。

也就是说，有可能作为最优解进行转移的状态，它们的点必然是在一个下凸壳上的。

每次在得到一个新的状态的时候，由于dis[]的单调性，它的位置必然是在这个半凸壳的右端处。由于dis[]的单调性，f[]也是满足单调递增，这样就可以用一个单调队列来维护半凸壳上的点。

对于每个新的状态u，具体的维护方法为：

1. 检查队头的两个元素q[l]和q[l+1]，通过上面的斜率检查，如果q[l+1]比q[l]更优，那么就把q[l]出队。

2. 直接取队头的元素为目标状态，进行状态转移，计算出f[u]。

3. 将u插入队尾。插入之前需要检查三个状态q[r-1], q[r], u是否满足斜率单调递增，若不满足则将q[r]出队。

这样就将整个DP的时间复杂度优化到了 $O(N)$ 。

需要注意的是，由于每个节点可能有多个子节点，因此每次转移之后要将队尾恢复为原来的元素。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
using namespace std;
const int maxn=200010;
int n,m,k,x,y,s;
ll ans,tmp,cnt,p,aa;
ll zt[maxn],l,r;
struct node
{
    int to,nex;
    ll w;
}a[maxn];
int he[maxn],tot,q[maxn];
ll dp[maxn],dis[maxn];
void add(int u,int v,ll w)
{
    a[tot].to=v;
    a[tot].w=w;
    a[tot].nex=he[u];
    he[u]=tot++;
}
void init()
{
    tot=r=0;l=1;
    memset(he,-1,sizeof(he));
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    ans=0;dp[1]=q[0]=0;
}
ll gety(int u,int v)
{
    return dp[u]+dis[u]*dis[u]-dp[v]-dis[v]*dis[v];
}
ll getx(int u,int v){return dis[u]-dis[v];}
ll getdp(int u,int v){return dp[v]+p+(dis[u]-dis[v])*(dis[u]-dis[v]);}

void getpre(int u,int fa)
{
    for(int i=he[u];i!=-1;i=a[i].nex)
    {
        int v=a[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dis[v]=dis[u]+a[i].w;
       // cout<<v<<" "<<dis[v]<<endl;
        getpre(v,u);
    }
}
void dfs(int u,int fa,int l,int r)
{
    int pre=-1;
    while(l<r&&gety(q[l+1],q[l])<=2*dis[u]*getx(q[l+1],q[l])) l++;
    //cout<<dp[u]<<endl;
    dp[u]=min(dp[u],getdp(u,q[l]));
    while(l<r&&getx(u,q[r])*gety(q[r],q[r-1])>=gety(u,q[r])*getx(q[r],q[r-1])) r--;
    pre=q[++r];q[r]=u;
    ans=max(ans,dp[u]);
    for(int i=he[u];i!=-1;i=a[i].nex)
    {
        int v=a[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u,l,r);
    }
    if(pre!=-1) q[r]=pre;//恢复队尾
}
int main()
{
    int T,cas=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
       scanf("%d%lld",&n,&p);
        init();
        for(int i=0;i<n-1;i++)
        {
            scanf("%d%d%lld",&x,&y,&aa);
            add(x,y,aa);
            add(y,x,aa);
        }
        getpre(1,-1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i]=dis[i]*dis[i];
        dfs(1,-1,1,0);
        printf("%lld\n",ans);
      //  if(flag) puts("Yes"); else puts("No");
    }
    return 0;
}

2016年ACM/ICPC沈阳赛区 I题（树形dp+斜率优化）

猜你喜欢