数论_扩欧

算数基本定理：

每个大于一的自然数均可以写成质数的积。

素数分配定理：

对正实数x，定义π（x）为素数计数函数，即不大于x的素数个数，则有
π（x）≈x/lnx （这样算大概10000内有100个素数）
第n个素数p（n）的渐进估计 p（n）~nlnn
（这样估计第一万个质数在9万左右）
Euclid第一定理 素数p，p|ab，那么p|a或者p|b。

bezout（贝祖）定理：

对于任何整数a、b和他们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程：
ax+by=m
有整数解时当且仅当m是d的倍数。且bezout等式有解时必然有无穷多个整数解，可以使用扩欧求出其中一组解。

扩欧模板：

（返回（a,b）并将一组满足ax+by=(a,b)的（x,y）保存在xx和yy中）
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int t ;
if (!b) {x=1;y=0;return a;}
t=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return t;
}

exgcd 解线性同余方程

关于 x 的模方程 ax%b=c 的解

方程转换为 ax+by=c 其中 y 一般为非正整数

则问题变为用 exgcd 解不定方程

解得 x1=x0*c/r

通解为 x=x1+b/r*t

设 s=b/r （已证明 b/r 为通解的最小间隔）

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则 x 的最小正整数解为 (x1%s+s)%s

证明：

若 x1>0，则 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N)

若 x1<0，因在 C++ 里 a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0) 如 -10%4=-2

则 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N)

即为 x1 通过加或减上若干个 s 后得到的最小正整数解

得证

亦可伪证 x1<0 的情况：设 x1=-5 , s=2

则 (x1%s+s)%s=(-5%2+2)%2=(-1+2)%2=3%2=1

即为 x1 加上 3 个 s 后的到的最小正整数解

模板题：http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5951091.html