[luogu1516]青蛙的约会（数论，扩欧）

题目

描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入

输入只包括一行5个整数$x，y，m，n，L$
其中$0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000$。

输出

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”。

输入样例

1 2 3 4 5

输出样例

4

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解题思路

Hmm…环形的追及问题……
设跳跃次数为 $t\ (t\in Z)$，那么$(x+mt)-(y+nt)=rL$，其中$r\in Z$
转化一下得：$(n-m)t+Lr=x-y$，如果我们把 $t,r$看作未知数的话，这就是一个不定方程，用扩展欧几里得求解即可。
设解出来的一个特解为$t_0$，那么通解为 $t=t_0+k\times L/gcd(L,n-m),k\in Z$，设$d=L/gcd(L,n-m)$，那么最小正整数解为

$$\big(t_0 \ \%\ (L/d) + (L/d)\big)\ \%\ (L/d)$$

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Code

#include<cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;
LL X, Y, M, N, L;
LL x, y;

LL exGcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exGcd(b, a % b, x, y);
    LL t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return d;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &X, &Y, &M, &N, &L);
    if(N < M)   N ^= M, M ^= N, N ^= M, X ^= Y, Y ^= X, X ^= Y;
    LL d = exGcd(N-M, L, x, y);
    if((X-Y) % d)   return puts("Impossible"), 0;
    printf("%lld", ((X - Y) / d * x % (L/d) + (L/d)) % (L/d));
    return 0;
}