SGU - 106 The equation（扩欧+细节处理）

题目大意

给出 $a x + b y + c = 0$ 这一二元一次不定方程，求满足 $\{(x,y) | x \in [lx,rx],y\in [ly,ry]\}$ 解的个数。

解题思路

自以为写了不少扩欧的题目，已经了如指掌，可是这道题又再次打脸， $w a$ 到怀疑人生…

首先不难想到如果 $c$ 挪到等式右边仍然是负数那么应该将 $c$ 变号，与此同时 $a, b$ 也应该变号，但是此时 $a, b$ 的符号可能是负的。一开始我的想法是将符号提到自变量 $x, y$ 处，即 $∣ a ∣ (- x) + ∣ b ∣ (- y) = c$ ，然后求出特解后直接取负。这样的做法不可以吗？可以，但是在本题是不行的，原因如下：

因为我们要求的是在给定解空间下的解的个数，假设不考虑 $a, b$ 的符号那么上述方程化为 $\frac{c-by}{a}$ ，当 $a$ 的符号改变后直接影响了最后的通解的形式发生改变，因此如果我们想对 $a$ 取负，正确的做法是对给出的解空间取反，也就是变成了 $[- r x, - l x]$ ，对于 $y$ 同理。

然后就是当我们解出通解后，需要得到解的个数，因为 $x, y$ 的变换是相反的，看起来似乎很难下手，但是实际上我们只需要根据通解的这个不等式 $\leq x_0+k_1\frac{b}{gcd(a,b)} \leq rx$ 求出 $x$ 在解空间下 $k_1$ 的取值范围，然后和 $y$ 的 $k_2$ 的取值范围，二者取一个交集即可。此时需要再次注意，左边应该向上取整，右边向下取整，画个图就明白了。

还有就是需要特判 $a = 0, b = 0$ 的三种情况


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// Created by Happig on 2020/10/30
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#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>

using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define ENDL "\n"
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x, y) make_pair(x,y)
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double, double> pdd;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e300;
const ll INF = 1e18;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    
    
    if (!b) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

ll gcd(ll a, ll b) {
    
    
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main() {
    
    
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    ll a, b, c, lx, rx, ly, ry;
    cin >> a >> b >> c >> lx >> rx >> ly >> ry;
    c = -c;
    if (c < 0) c = -c, a = -a, b = -b;
    if (a < 0) a = -a, swap(lx, rx), lx = -lx, rx = -rx;
    if (b < 0) b = -b, swap(ly, ry), ly = -ly, ry = -ry;
    if (a == 0 && b == 0) {
    
    
        if (c == 0) cout << (rx - lx + 1) * (ry - ly + 1) << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (a == 0) {
    
    
        if (c % b == 0 && ly <= c / b && c / b <= ry) cout << rx - lx + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    } else if (b == 0) {
    
    
        if (c % a == 0 && lx <= c / a && c / a <= rx) cout << ry - ly + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    ll d = gcd(a, b);
    if (c % d) {
    
    
        cout << "0" << endl;
    } else {
    
    
        ll x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        x = x * c / d, y = y * c / d;
        //cout << x << " " << y << endl;
        a /= d, b /= d;
        int l = max(ceil(1.0 * (lx - x) / b), ceil(1.0 * (y - ry) / a)), r = min(floor(1.0 * (rx - x) / b),
                                                                                 floor(1.0 * (y - ly) / a));
        if (r >= l) cout << r - l + 1 << endl;
        else cout << 0 << endl;
    }
    return 0;
}