动态规划与递归实例分析

本文收集了一些能用动态规划或递归进行解答的题目，旨在大家能逐渐理解递归和动态规划的思想，所以这里并不会说明其相关定义，由于博主也是刚刚接触，如果有问题请大家一定要指正，谢谢！

问题1：

从一个数组中取出几个数，使其和最大，要求取出的数的位置不能相邻。
以如下数组为例进行分析：

index	0	1	2	3	4	5	6
arr	1	2	4	1	7	8	3

1 递归
DP(i)表示第i个数之前的最优解， + 表示选这个数， - 表示不选这个数。

比如：对于求DP(6)，可以分成两种情况：如果你选第6个数，那么只能从第4之前的数中选最优解再加上第6个数的值；如果不选第6个数，就从第5个数之前选择最优解，然后比较这两种情况谁的值大就是DP(6)的解了，后面的分析是一样的。
递归公式如下：

    DP(i) = max(DP(i-2)+arr[i], DP(i-1))

递归的出口：

    DP(0) = arr[0]
    DP(1) = max(arr[0], arr[1])

下面是代码：

def f(arr, i):
    """递归解法"""
    if i == 0:
        return arr[0]
    if i == 1:
        return max(arr[0], arr[1])
    else:
        choose = f(arr, i-2) + arr[i]
        not_choose = f(arr, i-1)
        return max(choose, not_choose)

2 动态规划
一般来说能用递归就可以用动态规划，只不过数据量大时，递归会非常耗时，因为其时间复杂度是呈指数级增长的。动态规划就是拿空间来换时间。递归是从后往前推，而动态规划则是从前往后推，利用递归公式计算出后面的最优解，并将其保存到数组中。从递归的图中可以看到，很多子问题被重复计算了多次（例如DP(3)等），使用动态规划只计算一次，并将这些值保存起来，要使用时直接从数组中取。
代码如下：

def dp(arr):
    """动态规划解法"""
    # 使用了numpy模块，方便创建数组
    opt = np.zeros(len(arr), dtype=int)
    opt[0] = arr[0]
    opt[1] = max(arr[0], arr[1])
    for i in range(2, len(arr)):
        choose = opt[i-2] + arr[i]
        not_choose = opt[i-1]
        opt[i] = max(choose, not_choose)
    return opt

问题2 ：

从一个数组中选择若干个数，看是否有满足和为指定值的这些数。
依然使用问题一的数组分析，假设指定的和是20：

index	0	1	2	3	4	5	6
arr	1	2	4	1	7	8	3

1 递归
递归的思路同问题一是一样的，还是选不选的问题。
用 f(i, s) 表示第 i 个数，和为 s 的情况：

那么递归公式很明显了：

$$f(arr, i, s)=\begin{cases} f(arr, i-1, s), 选第i个数\\ f(arr, i-1, s-arr[i]) ,不选第i个数 \end{cases}$$
递归的出口：
首先肯定是当s=0的情况，s=0说明有符合条件的数，直接返回True就行了，然后是当i=0的情况，表示这是最后一个数，如果最后一个数等于s说明符合条件，不等就不符合了。这里还有一种情况大家可能不容易发现，就是arr[i]>s，直接跳过这个数据。
出口如下：

 s = 0时, return Ture
 i = 0时, return arr[i] == s
 arr[i] > s时, return f(arr, i-1, s)

递归代码如下：

def f2(arr, i, s):
    """递归解法"""
    # 注意s==0这个条件先于i==0进行判断
    if s == 0:
        return True
    elif i == 0:
        return arr[0] == s
    elif arr[i] > s:
        return f2(arr, i-1, s)
    else:
        choose = f2(arr, i-1, s-arr[i])
        not_choose = f2(arr, i-1, s)
        return choose or not_choose

2 动态规划

def dp2(arr, tag):
    """问题二的动态规划解法"""
    opt = np.zeros((len(arr), tag+1), dtype=bool)
    opt[0, :] = False  
    opt[0, arr[0]] = True  # i = 0时的情况
    opt[:, 0] = True       # s = 0的情况
    for i in range(1, len(arr)):
        for s in range(1, tag+1):
            if arr[i] > s:
                opt[i, s] = opt[i-1, s] 
            choose = opt[i-1, s-arr[i]]
            not_choose = opt[i-1, s]
            opt[i, s] = choose or not_choose
    r, c = opt.shape
    return opt[r-1, c-1]

由于表格太大不方便画出来，下面是求和为8(即tag=8)的数组opt初始值，列表示求和s的值，行表示i的值。动态规划过程从头开始根据递归公式将计算的中间值保存到数组中。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	T	T	F	F	F	F	F	F	F
1	T
2	T
3	T
4	T
5	T
6	T

大家可以自己计算，将相应的值填入表格，慢慢理解动态规划这一过程的思想，也可以将函数直接返回数组，看看数组里面的值，如下图所示：

问题3：

一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m,n都是整数,m>=2），每段绳子的
长度记为k[0],k[1],k[2]…. 请问如何剪绳子使得k[0],k[1],k[2]的乘积最大。
1 递归
以绳长8为例进行分析，因为至少要分成2段，所以可以有如下的分法：
假设f(n)表示绳长为n所求得的最大乘积，

那么

$$f(8)=max\begin{cases} f(1)*f(7)\\ f(2)*f(6)\\ f(3)*f(5)\\ f(4)*f(4)\\ \end{cases}$$
树形状的第2层（7,6,5,4）表示将绳子分成2段，第3层则表示将绳子分成3段，例如第3层的树节点6，则表示f(8)=f(1)*f(1)*f(6),将绳子分成了3段；依次类推。
递归公式：
$$f(n)=max( f(i)*f(n-i)), n>=4, i=[1, 2, 3,..., n//2]$$
这里为什么n>=4看后面就清楚了。
递归出口：

当n=1时，f(1)=0,不能分
当n=2时，f(2)=1*1=1
当n=3时，f(3)=1*2=2

上面的出口相信大家都能理解，但是当使用递归公式时，就不是这个结果了:
使用递归公式的时候，我们假设绳子已经分成了至少2段了，所以f(3)的值应该是3，为什么呢？因为此时绳子已经分成两段了，所以对于f(3)这一段绳子，是可以不用再分割的，也就是说，此时

$$f(3)=max\begin{cases} 3, 不再分割\\ 1*2，再次分割成1和2的两段\\ \end{cases}$$
同理，我们可以得到f(2)=2,f(1)=1
递归代码如下：

def f(n):
    """递归解法"""
    if n <= 3:
        return n
    else:
        return max([f(j)*f(n-j) for j in range(1, n//2+1)])

if __name__ == '__main__':
    n = int(input())
    # 这里要分情况讨论，只有当n>=4时才能使用递归
    if n == 1:
        print(0)
    elif n == 2:
        print(1)
    elif n == 3:
        print(2)
    else:
        print(f(n))

2 动态规划

def dp(n):
    """问题三的动态规划解法"""
    arr = [0] * (n+1)
    arr[0] = 0
    arr[1] = 1
    arr[2] = 2
    arr[3] = 3
    # 该循环用来得到n之前的每一个n的最大乘积
    for i in range(4, n+1):
        mx = 0
        # 对每一个n,求所有不同分割中的最大乘积
        for j in range(1, i//2+1):
            mul = arr[j]*arr[i-j]
            if mul > mx:
                mx = mul
        arr[i] = mx
    # print(arr)
    return arr[n-1]

问题4

假设有面值为1元、3元、5元的硬币若干枚，凑够11元所用的最少硬币数量是多少？（这题比较简单，我就不过多阐述了）
1 递归
假设f(n)表示凑够n元钱的最少硬币数量：

其实可以理解为求这棵树的叶子节点出现的最早的层次，递归公式如下：

$$f(n)=min\begin{cases} f(n-1)\\ f(n-3)\\ f(n-5)\\ \end{cases} + 1$$
递归的出口：

f(1),f(3),f(5) = 1
f(2), f(4) = 2

代码如下：

def f(n):
    """递归解法"""
    if n == 1 or n == 3 or n == 5:
        return 1
    elif n == 2 or n == 4:
        return 2
    else:
        return min(f(n-1), f(n-3), f(n-5)) + 1

2 动态规划

def dp(n):
    """动态规划"""
    arr = [0] * (n+1)
    arr[0] = 0
    arr[1] = 1
    arr[2] = 2
    arr[3] = 1
    arr[4] = 2
    arr[5] = 1
    for i in range(6, n+1):
        arr[i] = min(arr[i-1], arr[i-3], arr[i-5]) + 1
    return arr[1:]

问题5

从人民币面值1， 5， 10， 20， 50， 100中拼凑出N元，假设每种币值的数量足够多，求拼凑的不同组合的个数。

问题6

一只袋鼠要从河这边跳到河对岸，河很宽，但是河中间打了很多桩子，每隔一米就有一个，每个桩子上都有一个弹簧，袋鼠跳到弹簧上就可以跳的更远。每个弹簧力量不同，用一个数字代表它的力量，如果弹簧力量为5，就代表袋鼠下一跳最多能够跳5米，如果为0，就会陷进去无法继续跳跃。河流一共N米宽，袋鼠初始位置就在第一个弹簧上面，要跳到最后一个弹簧之后就算过河了，给定每个弹簧的力量，求袋鼠最少需要多少跳能够到达对岸。如果无法到达输出-1（2017年搜狐笔试题）

问题7

求两个字符串的最长公共子序列个数和最长公共子串个数（子序列不要求连续，子串要求连续）

问题8

有 n 个学生站成一排，每个学生有一个能力值，牛牛想从这 n 个学生中按照顺序选取 k 名学生，要求相邻两个学生的位置编号的差不超过 d，使得这 k 个学生的能力值的乘积最大，你能返回最大的乘积吗？ （2017年网易笔试题）