从递归到动态规划

1.零钱兑换：LeetCode

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

注意:

你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000
• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
• 硬币种类不超过 500 种
• 结果符合 32 位符号整数

①递归

先看错误示范：

void dfs(int s)
{
    if(s>amount) return;
    if(s==amount){
        ans++;
        return;
    }
    for(int i = 0; i < coins.size(); i++){
        int v = coins[i];
        dfs(s+v);
    }
}

错误原因在于进行了重复的计算，比如5=2+1+1+1=1+2+1+1=1+1+1+2；同样一种方法计算了多遍导致错误

以下是递归正确解答：暴力递归，首先coins[0]选择i个，则问题转化为从coins[1]~coins[n]中选择x个凑amount-i*coins[0]；然后同样从coins[1]中选择j个，则问题继续转化为从coins[2]~coins[n]中选择y个凑amount-i*coins[0]-j*coins[1]...........则可推知递归式

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        return dfs(coins,0,amount);
    }

    int dfs(vector<int>& coins,int index,int amount){
        if(amount==0) return 1;
        if(index >= coins.size()) return 0;
        int res = 0;
        for(int i = 0; coins[index]*i <= amount; i++){
            res += dfs(coins,index+1,amount-i*coins[index]);
        }
        return res;
    }
};

在LeetCode上运行结果是：

最后执行的输入：
500
[3,5,7,8,9,10,11]
提交时间	状态	执行用时	内存消耗	语言
几秒前	超出时间限制	N/A	N/A	cpp

②递归转化为动态规划（DP）

动态规划优于递归之处在于：递归计算了大量的重复数据，导致耗时大，