区间dp入门（括号匹配）

题目一：括号合法匹配：

题意：给定一个由()[]四种符号组成的字符串，求其中合法满足合法匹配的最长子串的长度。合法匹配有如下几种形式：()、[]、（合法串）、[合法子串]、合法子串+合法子串+....（如()[][][]()[]）。

分析：

dp问题三个重要环节：描述状态、状态转移方程、递推边界。

区间dp的话状态描述一般为二位数组，表示起点和终点。

因为是入门，我们暂且假设已经分析出该题为区间dp，所以状态描述就有了，dp[i][j]表示从i到j最长合法子串的长度。。。

首先我们先来看一下有一个字符的情况，比如结果为0,；两个字符的时候呢，如果这两个字符相同，为0+2，否则，还是0；再看3个字符的时候，即在2个字符的基础上加一个字符，此时的最大值可能为1+2的形式或者2+1的形式（分段）；分为四段时，则有可能为1+3、2+2,3+1三种形式，显然我们需要枚举断点，且取多种形式中的最大值作为结果：

$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);$ 其实这样看的话还少了两种形式：0+4和4+0,（可视作一种）；

而对于这一形式所需要的dp值 $dp[i][j]$ 我们是不知道的，所以我们可以先处理这种情况，其值由 $dp[i+1][j-1]$ 得来，如果区间两端元素相同，上式dp值+2，否则，就等于dp[i+1][j-1]（其实上述分段取值时已经包含了两端字符不相等时的情况，所以else可以省去），这样的话状态转移方程也就有了：

$1:if(str[i]==str[j])dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;$

$2:dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);$

第三递推边界的话较容易考虑，但不太好想的地方是断点的范围，因为断点的选择决定了我们应该対哪些初始状态赋值，所以这个地方应该手动模拟一下，防止重复计算或者遗漏状态。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
ll dp[110][110];
int main()
{
    string str;
    while(cin>>str&&str!="end")
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        ll n=str.length();
        for(ll len=1;len<n;++len)//枚举长度
        {
            for(ll j=0;j<=n-2&&j+len<=n-1;++j)
            {
                if(str[j]=='('&&str[j+len]==')'||str[j]=='['&&str[j+len]==']')
                {
                    dp[j][j+len]=dp[j+1][j+len-1]+2;
                }
                for(ll k=j;k<j+len;++k)
                {
                    dp[j][j+len]=max(dp[j][j+len],dp[j][k]+dp[k+1][j+len]);
                }
            }
        }
        cout<<dp[0][n-1]<<endl;
        str.clear();

    }
    return 0;

}

区间dp入门（括号匹配）

猜你喜欢