Quantum Computation and Quantum Information
由于和迅速发展的IT业有一定关系，近几年量子计算和量子信息的发展也吸引了大量资本的关注，其中Microsoft 在加州大学圣芭芭拉分校很早就设有 Sation Q 实验室，重点研究拓扑量子计算， 量子计算的大牛 Martinis 所率领的实验室被 Google 收购等等 。人们纷纷畅想着量子计算机投入使用后所能给我们社会带来的巨大变革，“量子霸权”被越来越频繁地提及，在世界各地几乎不停地有实验室宣称自己实现了更多的量子比特的量子纠缠，似乎量子计算机已经触手可及。
但是，作为刚踏入量子计算行业中的一员，我所了解的量子计算距离大众的美好期待还有相当远的一段距离。希望可以在这里简要介绍量子计算和量子信息的一些基本原理，同时也为了监督自己学习和掌握基本理论，为以后的科研做准备，所依据的主要参考书目: M. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum computation and quantum information.
Chapter 1. 所涉及到的量子力学
量子力学的理论框架是 Hilbert 空间，对于数学专业的同学来说是非常熟悉的，但是对于物理学来说，可以舍弃掉其中一些严谨的定义和繁琐的证明，毕竟，理论的正确与否不由我们决定，而是自然本身。在很多量子力学的教材中，会在开始部分引入诸多假设作为公理出发构建量子力学，当然能做到这一点的已经很难得，也会有教材把一些简单的理论讲得晦涩难懂，反而这样的教材充斥在很多大学的物理系的课堂上。作为奠基人之一的 Dirac 在1936年写出的《量子力学的基本原理》比现在的很多书高到不知道哪里去了。
Section 1. 态叠加原理
我们用量子态来描述微粒，写作\(|\psi\rangle\), 这个括号由 Dirac 引入，还有类似的符号\(\langle\psi|\)，Dirac 分别称它们为 ket 和 bra， 来自于括号 bracket。如果某一时刻我们也可以用\(|\phi\rangle\)来描述这个微粒，那么态\(c_1|\psi\rangle+c_2|\phi\rangle\)也是该粒子所处的态。在这里我们引入态的加法和数乘，\(c_1\)和\(c_2\)为任意复数，于是我们发现这里的态实际上就是线性空间中的一个向量，我们赋予了其加法和数乘运算，这个线性空间就是这个粒子可能出现的所有态，即希尔伯特空间。同时，我们还需要定义任意两个态的内积，才能给出度规长度，两个态做完内积得到的是一个复数。对于态\(|\psi\rangle\)和\(|\phi\rangle\)，内积可以写为\(\langle\phi|\psi\rangle\)或\(\langle\psi|\phi\rangle\)，其中\(\langle\phi|\psi\rangle^*=\langle\psi|\phi\rangle\)，这种将两个态括起来表示内积的做法正是启发 Dirac 将单词 bracket 拆分的来源，当然 ket 必须且只能和 bra 做内积，其中每个 ket 都可以找到一个 bra，只需要简单地把右半括号换成左半边括号，对于初学者不需要理解背后严谨的定义。
Section 2. 测量
当我们试图借助某些仪器去测量微粒的动量或坐标时，其实已经悄悄地改变了它的状态，对于宏观物体并不明显，但是在微观世界这一影响是显著的。于是我们将动量或者坐标这些量看成是算符，将其作用在态上会得到新的态。我们知道线性空间上的算符有很多，但是能被当作物理量去测量的算符一定是 Hermitian （厄米的），即共轭转置后等于自身，这源于该矩阵的两条优异性质。第一，Hermitian 矩阵的特征值是实数；第二，Hermitian 矩阵不同特征值对应的特征向量正交。于是，量子力学认为我们每次测量时得到的都会随机得到 Hermitian 矩阵的某一个本征值，这与实际生活经验一致，因为坐标或者动量显然是个实数。那么如何计算得到某个特征值\(a\)的概率呢？依据 Hermitian 矩阵的第二条性质，我们可以将这些正交的本征态作为希尔伯特空间中的一组基，如果我们测量微粒的状态为\(|\psi\rangle\), 本征值\(a\)对应的本征态为\(|a\rangle\)，概率为\(|\langle a|\psi\rangle|^2\)，即将态投影至本征态上的模方。可以验证这是自洽的，因为概率和\(\sum_a|\langle a|\psi\rangle|^2=1\)，这可由所有的本征态正交并且完备得到。
到这里还没有结束，对于某个微粒来说，经过测量之后它会随机的变成算符的某一个本征态，测量值为本征值，我们想象如果有大量相同的微粒，同时进行相同的操作，再将这些结果依概率求平均，即为测量的平均值，记作\(\langle\psi|A|\psi\rangle\)，其中 A 为待测的算符。大多数情况下，平均值更为重要，我们实际测量得到的往往都是平均值。
有了平均值的概念后，我们引入方差的概念，和数学中的一样，定义测量 A 的方差或者误差为：
\[ (\Delta A)^2=\langle\psi|(A^2-\langle A\rangle^2|\psi\rangle \]
海森堡不确定性关系可以表述为：
\[ \Delta x\cdot\Delta p\ge \frac{\hbar}{2}. \]
证明需要用到量子力学的另一个基本假设，即：
\[ [x,p]=i\hbar. \]
上式中的括号为对易子，即\([A,B]=AB-BA\)，结合 Schwartz 不等式即可以证明海森堡不确定性关系。
Section 3. 直积希尔伯特空间
目前我们只能处理单个微粒，这显然是不够的，同时处理多个微粒才是研究的重点，这就需要将每个微粒的希尔伯特空间进行组合，得到一个更大的希尔伯特空间，这个操作就是直积。即粒子\(i, i=1, 2, ..., n\) 共同所处的新状态空间为\(\otimes_iH^i\)，它很类似于笛卡尔积。在新的空间中的算符也需要用直积符号连接起来，定义：
\[ A\otimes B(|\phi\rangle\otimes|\psi\rangle)=(A|\phi\rangle)\otimes(B|\psi\rangle). \]
Section 4. 密度算符
我们将上述态的定义进一步扩展。实际应用中，我们也不知道粒子到底处于哪个态上，只知道也许它有一半的概念处于某个态上，又有一半的概率处于另一个态上，这种模糊的态我们称之为混态。为了描述这种态，我们借助 Landau 所提出的密度算符的概念。我们先为看在这种态下测量的平均值，显然比刚才的定义多了一重的平均。假设粒子处在态\(|\psi_i\rangle\)上的概率为\(p_i\)，那么测量算符 A 的平均值为:
\[ \langle A \rangle=\sum_ip_i\langle\psi_i|A|\psi_i\rangle=\sum_{i,a}p_i\langle\psi_{i}|a\rangle\langle a|A|\psi_i\rangle=\sum_{i,a}\langle a|A|\psi_i\rangle p_i\langle\psi_i|a\rangle=tr(A\rho), \]
其中
\[ \rho=p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i| \]
即为密度算符。上述计算中我们利用了 Hermitian 矩阵本征态的完备性，注意类似于\(|\psi_i\rangle\langle\psi_i|\)的写法为投影算符，这是容易理解的。可以发现，如上定义的密度算符有三条性质，半正定性，厄米性以及\(tr(\rho)=1\)，并且容易验证当且仅当\(\rho^2=\rho\)时，体系所处的态为纯态。如果我们有了两个粒子的密度算符，该如何计算测量其中一个粒子的某个物理量的平均值呢？我们先考虑这两个粒子所处的态为纯态\(|\psi\rangle\)，那么对于粒子1测量力学量 A 的平均值为：
\[ \langle\psi|A\otimes I|\psi\rangle=tr_{12}(|\psi\rangle\langle\psi|A\otimes I)=tr_1(tr_2(|\psi\rangle\langle\psi|)A)=tr_1(\rho_1A),\\ \rho_1:=tr_2(|\psi\rangle\langle\psi|). \]
在上式中我们定义了一个新的密度算符，得到的新密度算符称为约化密度算符。需要注意的是，粒子1的约化密度算符为对粒子2求迹，即利用求迹运算“去除”态中粒子2的部分。
Section 5. Schmidt 分解
Schmidt 分解在量子计算中是如此地重要，所以需要用一小节来详细解释，这是在处理混态时极其重要的做法。它的基本想法是，将混态的密度算符写成：
\[ \sum_ip_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|=\sum_{jk}a_{jk}|j\rangle|k\rangle=\sum_ic_i|\chi_i\rangle|\eta_i\rangle,\quad \langle\chi_i|\chi_j\rangle=\langle\eta_i|\eta_j\rangle=\delta_{ij}. \]
显然，这就是奇异值分解，\(A=U^\dagger S V\)， 将\(a_{jk}\)分解后代回原式即可，非零\(c_i\)的个数称为施密特秩。相关的概念还有混态的纯化，即将混态看为更大系统的子系统。利用纯化可以证明，混态的分解是不唯一的。
至此，量子计算所需的大部分量子力学基础已经介绍完毕，关于混态还有一部分内部以及EPR佯谬放在下一章。