感知机（perceptron）学习——学习笔记

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一、感知机
$\quad$感知机是二分类线性分类模型，输入为实例的特征向量，输出为+1，或者-1.由输入到输出函数为f(x) = sign(w*x+b),w为权值（weight），b叫做偏置（bias）。sign为符号函数。（w是超平面的法向量，b是超平面的截距）。

$\quad$感知机是通过确定一个超平面来将样本分成两类，也就是说我们通过不断调整w和b来确定这个超平面，直到找到这个超平面为止。简单来说，把他想成二维空间，就是平面上有一些点，这些点一类是+1，一类是-1，我们的目的就是找到一条直线可以将这二类点分开，这条直线的函数解析式w*x+b。我们通过调整斜率w和截距b来调整直线，直到其可以分成二类的点。

$\quad$我们这里定义一个损失函数，就是衡量分类错误的多少的一个函数（我自己理解的）。那我们就是要使这个损失函数尽量小。

$\quad$损失函数的自然选择是误分类点的总数，但是这样的损失函数不是参数w，b的可导函数，不容易优化。

$\quad$（$x_0$,$y_0$）到直线Ax+By+C = 0的距离为：

$$d =\dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

$\quad$所以我们来计算$x_0$到平面S的距离:

$$\dfrac{1}{||w||}|w*x_0+b|$$
$\quad$||w||是w的L2范数， $||w|| = \sqrt{w^2}$

$\quad$而对于误分类的数据（$x_i,y_i$）来说，$y_i*(w*x_i+b)>0$，所以误分类点$x_i$到S的距离为：

$$-\dfrac{1}{||w||}*y_i|w*x_i+b|$$

$\quad$所以误分类点到S的总距离为（误分类的距离为M）：

$$-\dfrac{1}{||w||}\sum_{x_i\in M}y_i|w*x_i+b|$$
$\quad$ 不考虑 $\frac{1}{||w||}$，就是感知机学习的损失函数。
$\quad$所以感知机sign（w*x+b）学习的损失函数为：
$$L(w,b) = -\dfrac{1}{||w||}\sum_{x_i\in M}y_i|w*x_i+b|$$
$\quad$我们通过对这个损失函数进行梯度下降算法，即:
$$min _{w,b} \quad L(w,b) = -\dfrac{1}{||w||}\sum_{x_i\in M}y_i|w*x_i+b|$$
$\quad$对这个损失函数分别对w和b求导，得到梯度，w的梯度为- $y_ix_i$,b的梯度 $-y_i$，所以更新公式为：
$$w\leftarrow w + \eta y_ix_i$$ $$b\leftarrow b + \eta y_i$$
$\quad$ $\eta$是步长，也称为学习率。然后不断更新直到符合某个停止条件，得到这个感知机模型。