和Leo一起做爱数学的好孩子HDU5382 GCD?LCM!

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超级毒瘤的反演

我们发现这个外层嵌套了所以考虑递归

引理：

 在  恒成立

这好理解，假设及时GCD就是较小的，那么值也是i+j

所以递归式为：

不妨：设

稍有常识的OI选手都知道

带入：

枚举GCD

交换枚举顺序

观察右式发现d|n

减少枚举数量

再次发现不需要枚举j

发现时间有三秒而这个是一个调和级数

所以埃式筛就好了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+100;
const int mod=258280327;
int vis[N];
int Prime[N];
int G[N];
int T[N];
int F[N];
int S[N];
int cnt=0;
void Pre(){
	G[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i){
		if(!vis[i]){
			Prime[++cnt]=i;
			G[i]=2;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&Prime[j]*i<N;++j){
			vis[i*Prime[j]]=1;
			if(i%Prime[j]==0){
				G[i*Prime[j]]=G[i];
				break;
			}
			G[i*Prime[j]]=G[i]*2;
		}
	}
	for(int i=1;i<N;++i){
		for(int j=i;j<N;j+=i){
			T[j]=(T[j]+G[i-1])%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<N;++i){
		F[i]=(((F[i-1]+2*i-1-T[i-1])%mod)+mod)%mod;
	}
	for(int i=1;i<N;++i){
		S[i]=(S[i-1]+F[i])%mod;
	}
}
int main(){
//	freopen("test.in","r",stdin);
	Pre();
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int x,y;
		scanf("%d",&x);
		cout<<S[x]<<'\n';
	}
}