组合数学 容斥原理 学习笔记 （福利向）和Leo一起做爱数学的好孩子（未完待续

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算法竞赛考得很多的部分啊

这个还是很重要的

在目前的算法竞赛中有三大计数考点

1）组合计数

2）线性计数

3）群论计数

其中群论计数比较困难，我又不知道什么是线性计数，所以只能颓组合计数。

首先是最简单的东西

加法原理

若完成一件事的方法有 $n$类，其中第 $i$类方法包含 $ai$种不同的方法， 且这些方法互不重合，则完成这件事共有 $a1+a2+...+an$种不同的方法

乘法原理

若完成一件事需要 $n$个步骤，其中第 $i$个步骤包含 $ai$种不同的方法， 且这些步骤互不干扰，则完成这件事共有 $a1 ·a2 ·...·an$种不同的方法

这些是稍有常识的OI小学生都会的东西

接着是组合数和排列数

组合数

In mathematics, a combination is a selection of items from a collection, such that (unlike permutations) the order of selection does not matter. For example, given three fruits, say an apple, an orange and a pear, there are three combinations of two that can be drawn from this set: an apple and a pear; an apple and an orange; or a pear and an orange. More formally, a $k$-combination of a set $S$ is a subset of $k$ distinct elements of $S$. If the set has n elements, the number of $k$-combinations is equal to the binomial coefficient

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},} {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}}$
摘自wiki

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

从 $n$个不同元素中取出 $m$个组成一个集合（不考虑顺序），产生的
不同的集合数量为 $C(n,m)=n!/(m!·(n-m)!)$

这个存在是一个二项式系数的东西

观察上式可知展开是存在一个规律的这实际上也是高考知识点

总结一下

这是二项式的一个简单形式（实际上还有牛顿的二项式定理）

这个时候伟大的数学家杨辉和帕斯卡先生先后独立发现了一个神奇的三角形

这个三角形有几个好性质

1）每一个数都是由左上角和右上角加在一起
2）一列加在一起等于右下角的值（以后讲

第一个式子可以配凑
第二个式子就是性质二（实际上是把 $n+k$个里选 $k$个给拆开选

组合数计算

这实际上很复杂，而且他很难直接算数理解，主要还是数形结合