题意

给定 $m$ 和 $x$ ，满足 $gcd(m,x)=1$ 。现在把每个小于 $m$ 的整数都看作一个点，然后 $i$ 向 $ix$ 连边，问最后最少需要选出多少个点使得每个点的后继中至少有一个点被选。
$m\le10^{14}$

分析

感谢sam队长教我做这题。
首先因为 $gcd(m,x)=1$ ，所以最后形成的图一定是若干个环，显然某个环上每个点与m的gcd都相等，且每个和m的gcd相等的环的大小都一样，设 $gcd$ 为 $d$ ，那么大小就是最小的满足 $x^n\equiv 1\pmod{\frac{m}{d}}$ 的 $n$ ，设为 $l(\frac{m}{d})$ 。
我们设 $f(d)$ 表示有多少个数和 $m$ 的 $gcd$ 恰好为 $d$ ，那么如果我们求出了所有的 $f$ 和 $l$ ，答案就是 $\sum f(d)*l(\frac{m}{d})$ 。
$f(d)$ 可以通过递推来求，具体可以看代码。
求 $l(d)$ 的话，这里有个经典做法：因为 $gcd(x,d)=1$ ，所以有 $x^{\varphi(d)}\equiv 1\pmod d$ ，那么我们就用Pollard_rho把 $\varphi(d)$ 分解质因数，然后枚举每个质因数，如果除掉这个质因数后仍能满足就除掉。
然后就做完了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>

typedef long long LL;

int n,tot,pri[9]={2,3,5,7,11,13,17,19,23},top;
LL m,x,a[50005],b[50005],f[50005],l[50005],prime[105];
std::map<LL,int> id;

LL gcd(LL x,LL y)
{
    if (!y) return x;
    else return gcd(y,x%y);
}

LL mul(LL x,LL y,LL mo)
{
    x%=mo;y%=mo;
    LL ans=(x*y-(LL)((double)x*y/mo+0.1)*mo)%mo;
    ans+=ans<0?mo:0;
    return ans;
}

LL ksm(LL x,LL y,LL mo)
{
    LL ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=mul(ans,x,mo);
        x=mul(x,x,mo);y>>=1;
    }
    return ans;
}

bool MR(LL n)
{
    if (n==2) return 1;
    if (n%2==0) return 0;
    LL w=n-1;int lg=0;
    while (w%2==0) w/=2,lg++;
    for (int i=0;i<9;i++)
    {
        if (n==pri[i]) return 1;
        LL x=ksm(pri[i],w,n);
        for (int j=0;j<lg;j++)
        {
            LL y=mul(x,x,n);
            if (x!=1&&x!=n-1&&y==1) return 0;
            x=y;
        }
        if (x!=1) return 0;
    }
    return 1;
}

LL rho(LL n)
{
    LL c=rand()*rand()%(n-1)+1,x1=rand()*rand()%n,x2=x1,k=1,p=1;
    for (int i=1;p==1;i++)
    {
        x1=(mul(x1,x1,n)+c)%n;
        if (x1==x2) return 1;
        p=gcd(n,abs(x1-x2));
        if (i==k) k<<=1,x2=x1;
    }
    return p;
}

void divi(LL n)
{
    if (n==1) return;
    if (MR(n)) {b[++tot]=n;return;}
    LL p=1;
    while (p==1) p=rho(n);
    divi(p);divi(n/p);
}

void pre()
{
    for (LL i=1;i*i<=m;i++)
        if (m%i==0)
        {
            a[++n]=i;
            if (m/i!=i) a[++n]=m/i;
        }
    std::sort(a+1,a+n+1);
    for (int i=1;i<=n;i++) id[a[i]]=i;
    LL tmp=m;
    for (LL i=2;i*i<=tmp;i++)
        if (tmp%i==0)
        {
            prime[++top]=i;
            while (tmp%i==0) tmp/=i;
        }
    if (tmp>1) prime[++top]=tmp;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&x);
    pre();
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=m/a[i]-1;
    for (int j=1;j<=top;j++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            if (a[i]%prime[j]==0) f[id[a[i]/prime[j]]]-=f[i];
    for (int i=n;i>=1;i--)
    {
        l[i]=a[i];
        for (int j=1;j<=top;j++)
            if (l[i]%prime[j]==0) l[i]=l[i]/prime[j]*(prime[j]-1);
        tot=0;divi(l[i]);
        std::sort(b+1,b+tot+1);
        tot=std::unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
        for (int j=1;j<=tot;j++)
            while (l[i]%b[j]==0&&ksm(x,l[i]/b[j],a[i])==1) l[i]/=b[j];
    }
    LL ans=1;
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int j;
        for (j=1;a[j]!=m/a[i];j++);
        ans+=f[i]/l[j];
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

Codeforces 1027G X-mouse in the Campus 数论+Pollard_rho

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