大数因式分解 Pollard_rho 算法详解

给你一个大数n，将它分解它的质因子的乘积的形式。

大数分解最简单的思想也是试除法，这里就不再展示代码了，就是从2到sqrt(n)，一个一个的试验，直到除到1或者循环完，最后判断一下是否已经除到1了即可。

但是这样的做的复杂度是相当高的。一种很妙的思路是找到一个因子（不一定是质因子），然后再一路分解下去。这就是基于Miller_rabin的大数分解法Pollard_rho大数分解。

Pollard_rho算法的大致流程是先判断当前数是否是素数（Miller_rabin）了，如果是则直接返回。如果不是素数的话，试图找到当前数的一个因子（可以不是质因子）。然后递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解。

那么自然的疑问就是，怎么找到当前数n的一个因子？当然不是一个一个慢慢试验，而是一种神奇的想法。其实这个找因子的过程我理解的不是非常透彻，感觉还是有一点儿试的意味，但不是盲目的枚举，而是一种随机化算法。我们假设要找的因子为p，他是随机取一个x1，由x1构造x2，使得｛p可以整除x1-x2 && x1-x2不能整除n｝则p=gcd（x1-x2，n），结果可能是1也可能不是1。如果不是1就找寻成功了一个因子，返回因子；如果是1就寻找失败，那么我们就要不断调整x2，具体的办法通常是x2=x2*x2+c（c是自己定的）直到出现x2出现了循环==x1了表示x1选取失败重新选取x1重复上述过程。（似乎还存在一个每次找寻范围*2的优化，但是不太懂。。。）

因为x1和x2再调整时最终一定会出现循环，形成一个类似希腊字母rho的形状，故因此得名。

另外通过find函数来分解素数，如果找到了一个素数因子则加入到因子map中，否则如果用Pollard找到一个因子则递归去找素数因子。

  1 #include<iostream>
  2 #include<ctime>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<map>
  5 using namespace std;
  6 typedef long long ll;
  7 map<ll, int>m;
  8 const int mod = 10000019;
  9 const int times = 50;//测试50次
 10 ll mul(ll a, ll b, ll m)
 11 //求a*b%m
 12 {
 13     ll ans = 0;
 14     a %= m;
 15     while(b)
 16     {
 17         if(b & 1)ans = (ans + a) % m;
 18         b /= 2;
 19         a = (a + a) % m;
 20     }
 21     return ans;
 22 }
 23 ll pow(ll a, ll b, ll m)
 24 //a^b % m
 25 {
 26     ll ans = 1;
 27     a %= m;
 28     while(b)
 29     {
 30         if(b & 1)ans = mul(a, ans, m);
 31         b /= 2;
 32         a = mul(a, a, m);
 33     }
 34     ans %= m;
 35     return ans;
 36 }
 37 bool Miller_Rabin(ll n, int repeat)//n是测试的大数，repeat是测试重复次数
 38 {
 39     if(n == 2 || n == 3)return true;//特判
 40     if(n % 2 == 0 || n == 1)return false;//偶数和1
 41 
 42     //将n-1分解成2^s*d
 43     ll d = n - 1;
 44     int s = 0;
 45     while(!(d & 1)) ++s, d >>= 1;
 46     //srand((unsigned)time(NULL));在最开始调用即可
 47     for(int i = 0; i < repeat; i++)//重复repeat次
 48     {
 49         ll a = rand() % (n - 3) + 2;//取一个随机数,[2,n-1)
 50         ll x = pow(a, d, n);
 51         ll y = 0;
 52         for(int j = 0; j < s; j++)
 53         {
 54             y = mul(x, x, n);
 55             if(y == 1 && x != 1 && x != (n - 1))return false;
 56             x = y;
 57         }
 58         if(y != 1)return false;//费马小定理
 59     }
 60     return true;
 61 }
 62 ll gcd(ll a, ll b)
 63 {
 64     return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
 65 }
 66 ll pollard_rho(ll n, ll c)//找到n的一个因子
 67 {
 68     ll x = rand() % (n - 2) + 1;
 69     ll y = x, i = 1, k = 2;
 70     while(1)
 71     {
 72         i++;
 73         x = (mul(x, x, n) + c) + n;//不断调整x2
 74         ll d = gcd(y - x, n);
 75         if(1 < d && d < n)
 76             return d;//找到因子
 77         if(y == x)
 78             return n;//找到循环，返回n，重新来
 79         if(i == k)//一个优化
 80         {
 81             y = x;
 82             k <<= 1;
 83         }
 84     }
 85 }
 86 void Find(ll n, ll c)
 87 {
 88     if(n == 1)return;//递归出口
 89 
 90     if(Miller_Rabin(n, times))//如果是素数，就加入
 91     {
 92         m[n]++;
 93         return;
 94     }
 95 
 96     ll p = n;
 97     while(p >= n)
 98         p = pollard_rho(p, c--);//不断找因子，知道找到为止，返回n说明没找到
 99 
100     Find(p, c);
101     Find(n / p, c);
102 }
103 int main()
104 {
105     ll n;
106     while(cin >> n)
107     {
108         m.clear();
109         srand((unsigned)time(NULL));
110         Find(n, rand() % mod);//这是自己设置的一个数
111         cout<<n<<" = ";
112         for(map<ll ,int>::iterator it = m.begin(); it != m.end();)
113         {
114             cout<<it->first<<" ^ "<<it->second;
115             if((++it) != m.end())
116                cout<<" * ";
117         }
118         cout<<endl;
119     }
120     return 0;
121 }

大数因式分解 Pollard_rho 算法详解

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