Codeforces 1027G X-mouse in the Campus

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/Myriad_Dreamin/article/details/82503489

$\text{(Codeforces 1027G)}$考虑两个整数$1\leqslant m,n\leqslant 10^{14},(m,n)=1,$问若定义等价类$\overline{x}=\{a|am^k=x,a\in Z_n\}$,这样的等价类有多少个？
记$M=\left<m,\cdot_n\right>$,由欧拉定理$m^{\varphi(n)}\equiv1$且$(m,n)=1,$这是一个$\varphi(n)$阶循环群.
那么$\overline{x}=xM$,容易由此知道$\varphi(n)=c_i|\overline {x}_i|$,所有不同的$\overline x$就是答案。
但是直接计算等价类的复杂度是$\mathrm{O}(n)$,那就$\text{TLE}$了.
于是考虑一个加速:对于任意$a\in Z_n,(am^k,n)=(a,n)$,所以记$\displaystyle \varphi(n/d)=\sum_{k=1}^n[(k,n)=d]$,答案就是$\displaystyle \sum_{d|n} \frac{\varphi(n/d)}{|\overline d|}$.
现在问题来了.$|\overline{d}|$如何计算？
$\text{min k}:\\\displaystyle dx^{k}\equiv d\pmod n,dd'=n\Leftrightarrow dx^{k}\equiv d+dd'\pmod n\Leftrightarrow x^k\equiv 1\pmod{\frac{n}{d}}$
注意到$k|\varphi(d)|\varphi(n)$，于是求$\varphi(n)$的素因子然后枚举即可…

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline long long mul(long long a,long long b,long long c){
    long long res=(a*b-(long long)((double)a*b/c+0.1)*c)%c;
    return res<0?res+c:res;
}
inline long long qp(long long a,long long b,long long mod){
    a%=mod;long long tmp=a,res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=mul(res,tmp,mod);
        tmp=mul(tmp,tmp,mod); b>>=1;
    }
    return res;
}
long long m,sqrtm,x,factor[200],fact[100000],f[100000],prim[100000];
int n=0,ptop=0,tol=0;
inline void calfact(long long m){
    for(long long i=1,mi;i<=sqrtm;i++){
        mi=m/i;
        if(i*mi==m){
            if(i!=mi)fact[++n]=mi;
            fact[++n]=i;
        }
    }
    sort(fact+1,fact+1+n);
}
inline void calprim(long long m,long long *prim,int &ptop){
    for(long long i=2;i<=sqrtm;i++){
        if(m%i==0){
            prim[++ptop]=i;
            while(m%i==0)m/=i;
        }
    }
    if(m>1)prim[++ptop]=m;
    return ;
}
inline long long Euler(long long n){
    long long phi=n;
    for(int i=1;i<=ptop;i++){
        if(phi%prim[i]==0)phi-=phi/prim[i];
    }
    return phi;
}
inline long long cal(long long m){
    long long res=0,tmpres,trueres,Eulerm=Euler(m);
    if(Eulerm>1)calprim(Eulerm,factor,tol);else factor[++tol]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        tmpres=trueres=Euler(fact[i]);
        if(tmpres>1){
            for(int j=1;j<=tol;j++){
                while(tmpres%factor[j]==0&&
                    qp(x,tmpres/factor[j],fact[i])==1)tmpres/=factor[j];
            }
        }
        res+=trueres/tmpres;
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%I64d%I64d",&m,&x);
    sqrtm=sqrt(m+1);
    calfact(m);
    calprim(m,prim,ptop);
    printf("%I64d\n",cal(m));
}