SVM 中的数学和算法

前言

本文转自 sealyao 的博客，原文链接「CSDN - SVM中的数学和算法」，是我在学习 SVM 的过程中找到的一篇讲解比较透彻的文章，这里转载过来分享给大家，并优化一下原文的排版。

SVM 中的数学和算法

支持向量机(Support Vector Machine)是 Cortes 和 Vapnik 于 1995 年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。

1 数学部分

1.1 二维空间

支持向量机的典型应用是分类，用于解决这样的问题：有一些事物是可以被分类的，但是具体怎么分类的我们又说不清楚，比如说下图中三角的就是 C1 类，圆圈的就是 C2 类，这都是已知的，好，又来了一个方块，这个方块是属于 C1 呢还是属于 C2 呢，说不清楚。SVM 算法就是试着帮您把这件事情说清楚的。

在二维空间里（这时候样本有两个参照属性），SVM 就是在 C1 和 C2 中间划一条线 $g(x)=0$，线儿上边的属于 C1 类，线儿下边的属于 C2 类，这时候方块再来，咱就有章程了。

关于 $g(x) = 0$ 得再啰嗦几句，$g(x)$ 里边的 $x$ 不是横坐标，而是一个向量，$\omega$ 也不是解析几何里边的斜率，也是向量。$\omega x$是一个向量积。

对 C1 类中的点：$g(x) > 0$；对于 C2 类中的点：$g(x) < 0$ ;

如果我们用 $y$ 来表示类型，+1 代表 C1 类，-1 代表 C2 类。

那么对于所有训练样本而言，都有：$y_ig(x_i)>0$，那么 $g(x) = 0$ 就能够正确分割所有训练样本的那条线，只要把 $g(x) = 0$ 这条线给找出来就能凑合用了。

这也就只能凑合用，因为满足这个条件的 $g(x) = 0$ 太多了，追求完美的我们要的是最优的那条线。怎么才是最优的呢？直觉告诉我们 $g(x) = 0$ 这条线不偏向 C1 那边，也不偏向 C2 那边，就应该是最优的了吧。对，学名叫分类间隔，下图红线的长度就是分类间隔。

在二维空间中，求分类间隔，可以转化为求点到线的距离，点到线的距离可以表示为 $\frac{|g(x)|}{|\omega|}$ (向量表示)。为简单计，把整个二维空间归一化(等比放大或缩小)，使得对于所有的样本，都有 $|g(x)|>=1$，也就是让 C1 和 C2 类中离 $g(x)=0$ 最近的训练样本的 $|g(x)|=1$，这时分类间隔就是$\frac{2}{|\omega|}$，这个间隔越大越好，那么 $|\omega|$ 越小越好。

1.2 多维空间

现在我们已经在二维空间中抽象出一个数学问题，求满足如下条件的 $g(x)=0$：

$$min(\frac{1}{2} |\omega|^2)st. y_i g(x_i) - 1 \geq 0$$

即在满足 $y_i g(x_i) - 1 \geq 0$ 条件下能使 $\frac{1}{2} |\omega|^2$ 取最小值的那个 $\omega$。在二维空间中，$\omega$ 可以近似的理解为斜率，在样本确定，斜率确定的情况下，$g(x) = \omega x +b$ 中的那个b也是可以确定的，整个 $g(x) = 0$ 也就确定了。

现在我们讨论的只是二维空间，但是我们惊喜的发现，在二维空间中的结论可以很容易的推广到多维空间。比如说：

我们仍然可以把多维空间中的分割面(超平面)表示为 $g(x) = \omega x +b =0$。

多维空间中点到面的距离仍然可以表示为 $\frac{|g(x)|}{|\omega|}$。如下图，平面表示为$g(x) = \omega x +b =0$，$x$ 是 $x_p$ 在面上的投影，$r$ 是 $x$ 到面的距离，简单推导如下：

$\omega$ 向量垂直于平面 $g(x) = \omega x +b =0$，有：$x = x_p +r\frac{\omega}{|\omega|}$，

把上式带入 $g(x) = \omega x +b =0$ 中，得到 $\omega(x - r\frac{\omega}{|w|}) + b = 0$，

化简得到 $\omega x + b -r|\omega| = 0$，所以 $g(x) = r|\omega|$，向量 $x$ 到平面 $g(x) = \omega x +b =0$ 的距离 $r=\frac{g(x)}{|\omega|}$，这和二维空间中结论也是一致的。

现在我们把 SVM 从二维空间推广到多维空间，即求满足如下条件的 $g(x)=0$：

$$min(\frac{1}{2} |\omega|^2)st. y_i (\omega x_i + b) - 1 \geq 0$$

1.3 拉格朗日因子

这是一个典型的带约束条件的求极值问题，目标函数是 $\omega$ 的二次函数，约束函数是 $\omega$ 的线性函数：二次规划问题。求解二次规划问题的一般性方法就是添加拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数(理论上这儿应该还有一些额外的数学条件，拉格朗日法才是可用，就略过了)。

具体求解步骤如下：

1.3.1 构造拉格朗日函数

$$L(\omega, b) = \frac{1}{2}|\omega|^2 - \Sigma_i\alpha_i (y_i (\omega x_i + b) - 1)$$

其中 $\omega$ 和 $b$ 是未知量。

1.3.2 对 $\omega$ 和 $b$ 求偏导数，令偏导数为 0

$$\partial (\omega) = |\omega| - \Sigma_i\alpha_i y_i x_i =0 ，即 |\omega| = \Sigma_i\alpha_i y_i x_i$$

$$\partial (b) = \Sigma_i\alpha_i y_i = 0, \alpha_i \geq 0$$

1.3.3 把上式带回拉格朗日函数，得到拉格朗日对偶问题，把问题转化为求解 $\alpha_i$

    $(\frac{1}{2}|\omega|^2 - \Sigma_i\alpha_i (y_i (\omega x_i +b) -1))$

$= (\frac{1}{2}|\omega|^2 - \Sigma_i\alpha_i y_i x_i \omega - \Sigma_i\alpha_i y_i b +\Sigma_i\alpha_i)$

$= (\Sigma_i\alpha_i - \frac{1}{2}|\omega|^2)$

$= (\Sigma_i\alpha_i - \frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_j\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_ix_j),\alpha_i \geq 0$

1.3.4 最后把问题转化为求解满足下列等式的 $\alpha_i$

$$min(\frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_j\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_ix_j - \Sigma_i\alpha_i),\alpha_i \geq 0$$

1.4 线性化

好，现在我们再来梳理一下 SVM 的分类逻辑，在空间中找一个分割面（线）把样本点分开，分割面（线）的最优条件就是分类间隔最大化，分类间隔是基于点到平面（直线）的距离来计算的。问题是所有的分割面都是平面，所有的分割线都是直线吗？显然不是。

比如特征是房子的面积 $x$，这里的 $x$ 是实数，结果$y$ 是房子的价格。假设我们从样本点的分布中看到 $x$ 和 $y$ 符合三次曲线，那么我们希望使用 $x$ 的三次多项式来逼近这些样本点。

在二维空间中这是非线性的，这样我们前面的推理都没法用了——点到曲线的距离？不知道怎么算。但是如果把 $x$ 映射到三维空间 $\Phi(x) = (x,x^2,x^3)^T$，那么对于 $\Phi(x)$ 来说， $y = \omega\Phi(x) + b$ 就是线性的，也就是说，对于低维空间中非线性的线(面)，在映射到高维空间中时，就能变成线性的。于是我们还需要把问题做一个小小的修正，我们面临的问题是求解：

$$min(\frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_j\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_ix_j - \Sigma_i\alpha_i),\alpha_i \geq 0$$

这里面引入了一个 Kernel，核函数，用于样本空间的线性化。

1.5 松弛变量

上面就是一个比较完整的推导过程，但是经验表明把上述条件丢给计算机进行求解，基本上是无解的，因为条件太苛刻了。实际上，最经常出现的情况如下图红色部分，在分类过程中会出现噪声，如果对噪声零容忍那么很有可能导致分类无解。

为了解决这个问题又引入了松弛变量。把原始问题修正为：

$$max(\frac{1}{2}|\omega|^2) + C\Sigma_i\gamma_i \ \ s\ t.\ \ y_i(\omega x_i + b) \geq 1 - \gamma,\ \gamma \geq 0$$

按照拉格朗日法引入拉格朗日因子：

$$L(\omega, b, \gamma) = (\frac{1}{2}|\omega|^2) + C\Sigma_i\gamma_i - \Sigma_i\alpha_i(y_i(\omega x_i + b) -1 + \gamma_i) - \Sigma_i \mu_i\gamma_i$$

对上式分别求 $\omega, b, \gamma$ 的导数得到：

$\partial(\omega) = |\omega| - \Sigma_i，即\ |\omega| = \Sigma_i\alpha_i y_i x_i$

$\partial(b) = \Sigma_i\alpha_i y_i = 0,\ a_i \geq 0$

$\partial(\gamma_i) = C - \alpha_i - \mu_i, \ \alpha_i \geq 0, \ \mu_i \geq 0$

带回 $L(\omega,b,\gamma)$ 得到拉格朗日的对偶问题：

$$min(\frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_j\alpha_i\alpha_jy_iy_j Kernel (x_i,x_j) - \Sigma_i\alpha_i),\ C\geq\alpha_i \geq 0$$

另外当目标函数取极值时，约束条件一定是位于约束边界(KKT条件)，也就是说：

$\alpha_i(y_i(\omega x_i + b) - 1 + \gamma_i) = 0$

$\mu_i\gamma_i = (C - \alpha_i)\gamma_i =0$

分析上面式子可以得出以下结论：

$\alpha_i = C$ 时：
$\gamma_i$ 可以不为零，就是说该点到分割面的距离小于 $\frac{1}{|\omega|}$，是误分类点。

$\alpha_i = 0$ 时：
$\gamma_i$ 为零，$(y_i(\omega x_i + b) - 1 + \gamma_i) >0$，表示该点到分割面的距离大于 $\frac{1}{|\omega|}$ ，是正确分类点。

$0 < \alpha_i < C$ 时：
$\gamma_i$ 为零，$(y_i(\omega x_i + b) - 1 + \gamma_i) = 0$，该点就是支持向量。

再用数学语言提炼一下：

令$L_\omega = \frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_j\alpha_i\alpha_jy_iy_j Kernel (x_i,x_j) - \Sigma_i\alpha_i$，其对 $\alpha_i$ 的偏导数为：

$$\partial(\alpha_i) = y_i\Sigma_j\alpha_jy_j Kernel (x_i,x_j) -1$$

KKT 条件可以表示为：

$$y_i(\omega x_i + b) = y_i\Sigma_j\alpha_j y_j Kernel(x_i,x_j) + b = \left\{\begin{matrix}\geq 1,\ \ \ \alpha_i =0 & \\1,\ 0<\alpha_i<C & \\\leq 1,\ \ \ \ \alpha_i = C & \end{matrix}\right.$$

用 $\partial(\alpha_i)$ 表示该 KKT 条件就是：

$$\left\{\begin{matrix}-y_i\partial(\alpha_i)\leq b,\ (y_i = 1,\alpha_i<C) or (y_i = -1,\alpha_i>0) \\ -y_i\partial(\alpha_i)\geq b,\ (y_i = 1,\alpha_i>0) or (y_i = -1,\alpha_i<C) \end{matrix}\right.$$

若 $g(\alpha_i) = -y_i\partial(\alpha_i)$，则

所有的 $g(\alpha_i),(y_i = 1, \alpha_i >0) 或者 (y_i = -1,\alpha_i<C)$

大于所有的 $g(\alpha_i),(y_i = 1, \alpha_i < C) 或者 (y_i = -1,\alpha_i >0)$。这里 $b$ 作为中间数被忽略了，因为 $b$ 是可以由 $\alpha_i$ 推导得到的。

2 算法部分

对于样本数量比较多的时候（几千个），SVM所需要的内存是计算机所不能承受的。目前，对于这个问题的解决方法主要有两种：块算法和分解算法。这里，libSVM采用的是分解算法中的SMO(串行最小化)方法，其每次训练都只选择两个样本。基本流程如下：

这里有两个重要的算法，一个是 $\alpha$ 的选择，另一个是 $\alpha$ 的更新。

2.1 $\alpha$ 的选择算法

选择两个和KKT条件违背的最严重的两个 $\alpha_i$，包含两层循环：

外层循环：优先选择遍历非边界样本，因为非边界样本更有可能需要调整，而边界样本常常不能得到进一步调整而留在边界上。在遍历过程中找出 $(y_i = 1, \alpha_i < C) 或者 (y_i = -1,\alpha_i >0)$ 的所有样本中 $-y_i\partial(\alpha_i)$ 值最大的那个(这个样本是最有可能不满足 $-y_i\partial(\alpha_i)\leq b$ 条件的样本。

内层循环：对于外层循环中选定的那个样本 $\alpha_i$，找到这样的样本 $\alpha_j$，使得：

$$\left\{\begin{matrix}\frac{(\partial(\alpha_i) + \partial(\alpha_j))^2}{(Kernel(i,i) + Kernel(j,j) - 2Kernel(i,j))},\ y_1y_2 = -1 \\ \frac{(\partial(\alpha_i) + \partial(\alpha_j))^2}{(Kernel(i,i) + Kernel(j,j) + 2Kernel(i,j))},\ y_1y_2 = +1 \end{matrix}\right.$$

最大，上式是更新 $\alpha$ 中的一个算式，表示的是在选定 $\alpha_i$，$\alpha_j$ 为更新算子的情况下，$\delta(\alpha_j)$ 最大。

如果选择 $\alpha$ 的过程中发现 KKT 条件已经满足了，那么算法结束。

2.2 \alpha 的更新算法

由于SMO每次都只选择2个样本，那么等式约束可以转化为直线约束：

$$\alpha_1 + y_1y_2\alpha_2 = d(常数)$$

转化为图形表示为：

那么 $\alpha_2$ 的取值范围是：

$$\left\{\begin{matrix}L = max(0,\alpha_1 - \alpha_2), H = min(C_2,C_1 + \alpha_2- \alpha_1 ) ,y_1y_2 = -1 \\ L = max(0,\alpha_2 + \alpha_1 - C_1), H = min(C_2, \alpha_2+ \alpha_1 ) ,y_1y_2 = +1 \end{matrix}\right.$$

把 $\alpha_1 + y_1y_2\alpha_2 = d$ 代入 $\frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_j\alpha_i\alpha_jy_iy_j Kernel (x_i,x_j) - \Sigma_i\alpha_i$中，得到一个一元二次方程，求极值得到：

$$\left\{\begin{matrix}\alpha_2^{new*} = \alpha_2 + \frac{-\partial(\alpha_1) - \partial(\alpha_2)}{K(1,1) + K(2,2) + 2K(1,2)},\ y_1y_2 = -1 \\ \alpha_2^{new*} = \alpha_2 + \frac{-\partial(\alpha_1) - \partial(\alpha_2)}{K(1,1) + K(2,2) - 2K(1,2)},\ y_1y_2 = +1 \end{matrix}\right.$$

最终：

$$\alpha_2^{new} = \left\{\begin{matrix}H,\ \alpha_2^{new*}\geq H \\ \alpha_2^{new*},\ 0<\alpha_2^{new*}<H \\ L,\alpha_2^{new*}\geq L \end{matrix}\right.$$

2.3 其他

上面说到 SVM 用到的内存巨大，另一个缺陷就是计算速度，因为数据大了，计算量也就大，很显然计算速度就会下降。因此，一个好的方式就是在计算过程中逐步去掉不参与计算的数据。因为，实践证明，在训练过程中，$\alpha_i$ 一旦达到边界($\alpha_i = 0$ 或者 $\alpha_i = C$)，$\alpha_i$ 的值就不会变，随着训练的进行，参与运算的样本会越来越少。

LibSVM 采用的策略是在计算过程中，检测 active_size 中的 $\alpha_i$ 值，如果$\alpha_i$到了边界，那么就应该把相应的样本去掉（变成 inactived ），并放到栈的尾部，从而逐步缩小 active_size 的大小。

b的计算 ，基本计算公式为：$b = y_i - \Sigma_j\alpha_jy_jKernel(x_i,x_j)$

理论上，$b$ 的值是不定的。当程序达到最优后，只要用任意一个标准支持向量机（$0<\alpha_i<C$）的样本带入上式，得到的 $b$ 值都是可以的。目前，求 $b$ 的方法也有很多种。在 libSVM 中，分别对 $y=+1$ 和 $y=-1$ 的两类所有支持向量求 $b$，然后取平均值。