Blocks(组合数学——生成函数)

Blocks

https://cn.vjudge.net/problem/POJ-3734

题意：

一排有n块砖，每块砖可以染成A,B,C,D四种颜色的其中一种，现在问你A颜色砖块有偶数个，B颜色砖块有偶数个的染色方法有几种？

题解：

这题虽然可以用矩阵快速幂的方法做，但也存在一种能秒杀这题的方法———生成函数!。
要求解这个问题世界上是{0,1,0,1…}和{1,1,1,1…}这两个序列相乘的平方(因为各有两个)，然后第n项系数就是问题的解了。但在计算这个的过程中用普通生成函数是比较难化简出系数的，因此我在这里用指数型生成函数。
$\lbrace0,1,0,1...\rbrace=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\lbrace1,1,1,1...\rbrace=e^x$
因此生成函数就是
$(\frac{e^x+e^{-x}}{2}*e^x)^2=\frac{e^{4x}+2*e^{2x}+1}{4}$
因此每一项的系数就是
$\frac{4^{n}}{n!*4}+\frac{2*2^{n}}{n!*4}=\frac{4^{n-1}+x^{n-1}}{n!}$
所以答案就是 $4^{n-1}+2^{n-1}$，用快速幂求解即可

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int mod=1e4+7;
long long qpow(long long a,long long b)
{
	long long ans=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int T,n,m,i,j,k;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>k;
		cout<<(qpow(4,k-1)+qpow(2,k-1))%mod<<endl;	
	 } 
}