2.1 递推关系

对于数列a1,a2,…,an,…,除了前面的若干数外,其余各项an与它前面的若干个数关联起来的方程叫做递推关系。
在求解递推关系时，前面必须知道若干个数，这若干个已知的数称为初始条件，或边界条件。

2.2 母函数

对于序列a0,a1,a2,… 构造函数：G(x)= a0+a1x+a2x2+… ,称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数。

【例】有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不同的组合方案，假设两个红球没有区别。
第一种解法：组合方法

第二种解法：母函数法

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【例】已知边界条件 $h_0=0,h_1=1$ ，用母函数求解递推关系 $h_n=2h_{n-1}+1$

假设 $h_1,h_2,...,h_n$ 的母函数为 $G(x)=h_0+h_1x+h_2x^2+...$
利用递推关系得， $G(x)=\frac{x}{(1-x)(1-2x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}={A}(1+x+x^2+...)+{B}(1+2x+2^2x^2+...)$
第n项是 $A+B2^n$ ，代入边界条件 $h_0=0,h_1=1$ ，解得A=-1，B=1
答案： $h_n=-1+2^n$

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$a_n+ba_{n-1}+ca_{n-2}=0,c\ne0$
针对特征方程 $x^2+bx+c=0$ 的根的情况有：

【例】
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$a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=0$
针对特征方程 $x^k+c_1x^{k-1}+...+c_k=0$ 的根的情况有：

k个不同的实根： $a_n=A_1(r_1)^n+A_2(r_2)^n+...+A_k(r_k)^n$
h重根： $a_n=(k_1+k_2n+...+k_hn^{h-1})r^n$
$h_i$ 是 $r_i$ 的重根数： $a_n=(A_0+A_1n+...+A_{h_1}n^{h_1-1})r_1^n+ (B_0+B_1n+...+B_{h_2}n^{h_2-1})r_2^n+...+(T_0+T_1n+...+T_{h_s}n^{h_s-1})r_s^n$

【例】
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$a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=b_n$

【定理】若 $α_n$ 是线性常系数非齐次递推关系的某个特解，则这个线性常系数非齐次递推关系的一般解有如下形式：
$a_n$ (非齐次的一般解)= $α_n$ (非齐次的某个特解)+ $β_n$ (对应的齐次的一般解)

$a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}=C(n),C(n)=hr^n$ ，h是常数，r是非零整数。

【定理】对于如下非齐次递推关系：

a_{n} + c_{1} a_{n - 1} + c_{2} a_{n - 2} + . . . + c_{k} a_{n - k} = r^{n} h (n)

$a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=r^nh(n)$

h(n) 是n的p次多项式，线性齐次递推关系的特征方程为：

C (x) = x^{k} + c_{1} x^{k - 1} + . . . + c_{k}

$C(x)=x^k+c_1x^{k-1}+...+c_k$

若r是C(x)的m重根，则递推关系的特解为如下形式： $r^{n} (k_{0} n^{m} + k_{1} n^{m + 1} + . . . + k_{p} n^{m + p})$ $r^n(k_0n^m+k_1n^{m+1}+...+k_pn^{m+p})$
若r不是C(x)=0的根，则特解是上式m=0时的形式