黎曼猜想是什么？

@黎曼猜想是什么？

最近迈克尔· 阿提亚爵士证明了黎曼猜想的事情震惊了数学界，所以了解了一下黎曼猜想。

级数求和

欧拉研究过一个级数
$E(s)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{s}}$
关于这个级数，当s>1时，级数收敛;当s<=1时，级数发散。

解析延拓

上面的E(s)在s<=1时无意义，但是我们可以对E(s)的定义域进行扩展得到一个新的函数L(s)。该新函数L(s)在s>1时与E(s)相等，在s<1时仍然有意义（即，任意给定一个s，有L(s)=有限值）。
如果使用随便一个方法对E(s)进行延拓，可能得到的新函数L(s)有无穷多种可能，因此有必要采用一套完善的方法来构造新函数，最好能对给定一个函数，延拓得到的新函数是唯一的。解析延拓是根据原函数的导数进行延拓的（因此需要原函数在定义域内处处可导），可以证明得到的结果是唯一的。

Zeta函数

黎曼对E(s)进行了解析延拓，扩展到了复数空间，得到了zeta函数
$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx(s\neq 1,s\in C)$
该函数有一些有趣的结果，比如
$\zeta (-1)=-\frac{1}{12},\zeta (-2)=0$
因为这个结果，很多人得出了
$E(-1)=1+2+3+...+\infty =\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$，
即全体自然数等于-1/12的结论。
第一个等式是不成立的，因为E(s)已经超出了收敛域，所以就不存在与zeta函数相等的说法了。

黎曼猜想

黎曼猜想描述的是 $\zeta(s)=0$的解，
即求解
$\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)}\int_{0}^{\infty }\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx=0$
该方程的解除了在负偶数上外，其他的点全在下面的蓝色区域内，称为临界带。
黎曼猜想：临界带内的解全都落在实部位1/2的线上。

（图片来源：Numberphile，https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo）

意义

$\zeta(s)=0$的解与质数的分布有直接的关系，如通过该函数可以计算出两个数之间有多少个质数。