出处：http://www.fengchang.cc/post/105
就说这个猜想跟素数的分布有关，而素数的重要性被奉为万数之基。
一句话定义黎曼猜想：
黎曼zeta函数只在下面两种点上为0值：第一种是负偶数第二种是实部为1/2的复数。
用二维坐标系表示复平面，那么取零值的点只在下面两条横纵直线上：
前一种称为平凡零点，不怎么受人关注，后一种叫“非平凡零点”，据说跟素数的分布有某种神秘的联系，下面研究看看。
上面的定义看完只能理解表层的数学定义，但是这个东西跟素数有什么关系，背后有什么深意，则完全是一头雾水，也就是说，只看这个定义，只是相当于该知识的冰山一角。我完全不能满意，那么下面我将尝试展开该问题，以求获得问题的全貌，这是一个困扰人类一百多年至今仍悬而未决的数学难题，我这辈子估计是不可能解出来的，不过解不出来，尝试理解一下问题本身总可以吧？为了对得起自己的学历，下面尝试展开对这个问题做一些分析。
上面的定义中，黎曼zeta函数是什么？代表了什么含义？
黎曼zeta函数用无穷级数定义如下：
重点在于s是复数，且仅在s的实部大于1的情况下，该级数才收敛。
但是黎曼这个神人做了一个“解析拓延”，这是这里面的重中之重，比如上面的级数最初的定义域是在大于1的自然数上定义的，但后来逐步拓展到大于一的实数，然后最终拓展到复平面。总之这里解析拓延是黎曼猜想的重中之重，也是水很深的地方，我只能做这么个粗浅解释，有兴趣可以自己研究 。
用积分形式的定义如下:
看上面的积分形式定义，问题又来了，这个分母中的函数是个什么鬼？怎么念？
这个函数的定义如下：
其实就是个阶乘函数，但是偏移掉最大的一个数。
欧拉证明素数无限的方法，:
- If Q is prime, you’ve found a prime that was not in your “list of all the primes”.
- If Q is not prime, it is composite, i.e made up of prime numbers, one of which, p, would divide Q (since all composite numbers are products of prime numbers). Every prime p that makes up P obviously divides P. If p divides both P and Q, then it would have to also divide the difference between the two, which is 1. No prime number divides 1, and so the number p cannot be on your list, another contradiction that your list contains all prime numbers.
求在给定正整数范围内有多少素数，是一个很有用的函数，记为π(x), 容易理解这个函数是个阶梯函数，每当x为素数时阶跃1，来看一眼这个函数的图像，大概也能感觉到素数分布之规律难寻：
素数定理：
用python画了一下分母的这个函数x/ln(x)的趋势，如下图：
把黎曼zeta函数跟素数发生关系的一个公式：欧拉乘积公式（Euler product formula）
右边的p是所有的素数。
这个结论乍看起来一头雾水，这样一个无穷级数怎么能跟素数的某种形式的练乘挂上钩呢？下面就做一个简单的证明：
首先对zeta函数（级数形式）两边都乘以第二项
然后跟原始的等式按如下方式做差：
其结果就是右边的项中分母中底数为2的倍数的项都没了。
再来做类似的操作，等式两边乘以右边第二项：
然后再跟之前的等式两边同时做差。得到下式：
说白了这里不过是一些处理无穷级数项的小技巧而已，没什么复杂的，但是通过不断地做以上的操作，类推下去，最终会把右边的项，全部干掉，只剩下1：
然后左边的项，看剩下的分母中的底数，为2，3，5，7 。。。等，全是素数。为什么会全是素数呢？其实如果知道埃拉托斯特尼筛法，自然就能理解了，原理大概就是例如求100以内的所有素数，只要把2的倍数全部剔除，再把3的倍数全部剔除，顺序往下，把没剔除的数的倍数全部剔除，直到没得剔了，那么剩下的数就是素数，很直观的一种方法。
至此，证毕，起码到此为止的成就是，把素数跟Zeta函数挂上钩了。但是zeta函数的那些非平凡零点又意味着什么，暂时还不知道。
又仔细研究了下，得到的结论大概是这样：zeta函数在复平面上的非平凡零点跟素数分布有着紧密联系，具体怎么联系的，体现在类似素数定理的误差项，已经证明的是非平凡零点的实部在0到1的条状带内，而黎曼猜想的标书则更强，直接定位在实部等于1/2处，这样相当于获得了更强的素数计数函数的误差项：
那么如果证明出来里面函数会有什么影响？答案我的理解是这样，考虑到黎曼猜想在结论层面，已经很多人默认它为真并基于它去做一些具体的事了，那么如果最终被证明，对这些已经默认它为真的事情理应是没啥影响，考虑到现在已经找到的大量的零点都符合黎曼猜想，这个猜想的成立的概率还是挺大的，于是在现实应用层面，证明了更不应该会有什么影响，倒是如果被证伪了，影响会比较大，但在现实应用层面（例如密码学）影响也有限，不会是颠覆性的。
但是可能的大的影响是来自证明过程的，例如素数定理本身就是研究黎曼猜想的过程中引出来的，那么如果真正证明出黎曼猜想，大概率其过程中会有新的一些重要发现。
牵涉到的一些数学概念：
素数定理， 解析延拓，虚数指数函数的意义，连续统