黎曼猜想（二）全体自然数之和等于-1/12和解析延拓
全体自然数之和等于 − 1 12 -\frac{1}{12} −121
有人一定听说过全体自然数之和等于 − 1 12 -\frac{1}{12} −121，那我们这期就来聊聊这究竟是为什么呢？这个结果又和什么有关系呢？
之前我们说过这样的一个式子：
ε ( s ) = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + . . . \varepsilon (s) = 1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} +\frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{6^{s}}+... ε(s)=1+2s1+3s1+4s1+5s1+6s1+...
当s = 1时；
ε ( 1 ) = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + . . . \varepsilon (1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +\frac{1}{5} + \frac{1}{6}+... ε(1)=1+21+31+41+51+61+...
这是调和级数，是发散的。
当s = 2时；
ε ( 2 ) = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + . . . \varepsilon (2) = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} +\frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}}+... ε(2)=1+221+321+421+521+621+...
这就是巴塞尔问题，答案是 π 2 6 \frac{\pi^{2}}{6} 6π2。
但是当s < 1时，答案又是什么呢？
欧拉给出了这么几个答案：
ε ( − 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5... = − 1 12 ε ( − 2 ) = 0 ε ( − 3 ) = − 1 120 \varepsilon (-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5... = -\frac{1}{12} \\ \varepsilon (-2) = 0 \\ \varepsilon (-3) = -\frac{1}{120} ε(−1)=1+2+3+4+5...=−121ε(−2)=0ε(−3)=−1201
是不是很神奇，那让我们看一下欧拉的证明方法。
欧拉把这个函数 x ( 1 − x ) 2 \frac{x}{(1-x)^{2}} (1−x)2x幂级数展开得：
x ( 1 − x ) 2 = x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + . . . . \frac{x}{(1-x)^{2}} = x + 2x^{2} + 3x^{3} + 4x^{4} + .... (1−x)2x=x+2x2+3x3+4x4+....
令x = -1得：
− 1 4 = − 1 + 2 − 3 + 4 − . . . . . -\frac{1}{4} = -1 + 2 - 3 + 4 - ..... −41=−1+2−3+4−.....
− 1 4 = − ( 1 + 3 + 5 + . . . ) + ( 2 + 4 + 6 + . . . ) -\frac{1}{4}= -(1 + 3 + 5 + ...) + (2 + 4 + 6 + ...) −41=−(1+3+5+...)+(2+4+6+...)
− 1 4 = − ( 1 + 2 + 3 + 4 + . . ) + ( 2 ∗ 2 + 4 ∗ 2 + 6 ∗ 2 + . . . ) -\frac{1}{4} = -(1 + 2 + 3 + 4 + ..) + (2 *2 +4*2 + 6*2+...) −41=−(1+2+3+4+..)+(2∗2+4∗2+6∗2+...)
− 1 4 = 3 ∗ ( 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . ) -\frac{1}{4}=3 * (1 + 2 + 3 + 4 + ....) −41=3∗(1+2+3+4+....)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . = − 1 12 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -\frac{1}{12} 1+2+3+4+...=−121
这只是欧拉的证明方法，还有很多其他版本的证明方法后续再补充。
（全体自然数之和在数学家的眼里是错误的，但是在物理学家的眼里那就不一定错误了。）
到了这里，为什么全体自然数之和等于 − 1 12 -\frac{1}{12} −121，在上一期说过，s在这个欧拉级数里必须是大于1才有意义，当s = -1的时候是无意义的，那么怎么会出现这个这个结果，答案就是解析延拓。
解析延拓
定义
解析：如果一个函数 f ( x ) f(x) f(x)在某一点a处可导，并且在a的领域也处处可导，即这个函数 f ( x ) f(x) f(x)在a点是解析的，如果 f ( x ) f(x) f(x)在区域D内的任意一点都是解析的，那么 f ( x ) f(x) f(x)在区域D内是解析的。
通俗的来说，解析延拓就是将一个函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域“扩大”，但这个“扩大”不是随意扩大，解析延拓是唯一的，条件就是 f ( x ) f(x) f(x)是在一个区域内是处处可导的，那么就可以将这个区域扩大到全局，也就是局部函数->全局函数，而且也是处处可导的。处处可导是什么意思呢？就是处处是光滑。
那我们来举个栗子。
栗子
我们一定看过这样的一个数列：
1 + x + x 2 + x 3 + . . . . 1 + x + x^{2} + x^{3} + .... 1+x+x2+x3+....
用等比数列求和可得(-1 < x < 1)：
1 + x + x 2 + x 3 + . . . . = 1 1 − x 1 + x + x^{2} + x^{3} + .... = \frac{1}{1 - x} 1+x+x2+x3+....=1−x1
那我们先把这个函数用图像画出来，当-1 < x < 1时，左边是严格等于右边的，所以图像是：
左边的数列只有在-1<x<1时才会是上图所呈现的，但是对于右边，貌似我们还可以画出x的定义域内的图像，图像如下：
这样我们就把左边的数列进行了解析延拓，扩大了定义域，但是上图除了-1<x<1，之外的范围都不存在，让我们来带几个值进去。
当 x = 1 2 x = \frac{1}{2} x=21时：
1 + 1 2 + ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 3 + . . . . = 2 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{3} + .... = 2 1+21+(21)2+(21)3+....=2
这是完全正确的。
当 x = − 1 x = -1 x=−1时：
1 + − 1 + 1 − 1 + . . . . = 1 2 1 + -1 + 1 - 1 + .... = \frac{1}{2} 1+−1+1−1+....=21
这个式子对不对自己细品。。。
对于左边x = -1是没有意义的，但是对于解析延拓出来的右边函数是具有意义的。
所以说，全体自然数之和等于 − 1 12 -\frac{1}{12} −121是解析延拓出来的结果，是错误的。
那么欧拉级数解析延拓出来的函数是什么样子呢？让我们下期再来讲讲黎曼函数。
参考：
https://www.bilibili.com/video/BV1MW411S7Tg
https://www.bilibili.com/video/BV1oW411U7Bk
https://blog.csdn.net/qq_40155097/article/details/86670230