[数值分析]不动点迭代法

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$1.$不动点与不动点迭代法

对于方程

$$f(x) = 0\tag{1.1}$$
改写成
$$x = \varphi(x)\tag{1.2}$$
若要求 $x^*$满足 $f(x^*) = 0$，则 $x^* = \varphi(x^*)$;反之亦然。则称 $x^*$为函数 $\varphi(x)$的一个不动点。
选择一个初始近似值 $x_0$，将它代入 $(1.2)$式子右端，即可求得
$$x_1 = \varphi(x_0)$$
可以如此反复迭代计算得到
$$x_{k+1} = \varphi(x_k),k=0,1,....\tag{1.3}$$
$\varphi(x)$称为迭代函数，如果对于任何 $x_0\in[a,b]$，由 $(1.3)$式子得到的序列 $\begin{Bmatrix}x_k\end{Bmatrix}$有极限
$$\lim \limits_{k\to\infty}x_k=x^*$$
则称迭代方程 $(1.3)$收敛，且 $x^* = \varphi(x^*)$为 $\varphi(x)$的不动点，故称 $(1.3)$为不动点迭代法。

更简单的说不动点也可看成$y = \varphi(x)与y = x$的交点。
如图

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$2.$不动点的存在性与迭代法的收敛性

首先考察$\varphi(x)$在[a,b]上不动点的存在唯一性。