两种方法对浮点数求根号(二分法和牛顿法)

二分法和牛顿法求根号是面试中的经典题，如果没提前接触过，经典题将成为经典难题。我先上代码，后面再对代码进行解释：

#include<iostream>
#include<string>
#define PRECISION 0.0002
using namespace std;

//二分法
//二分法通过缩小根值范围的方法来逼近结果
float sqrt1(float n) {
	float min, max, mid; //min代表下边界，max代表上边界，mid为中间值也作为近似值
	min = 0;
	max = n;
	mid = n / 2;
	while (mid*mid>n + PRECISION || mid*mid<n - PRECISION)
	{
		mid = (max + min) / 2;
		if (mid*mid < n + PRECISION) {
			min = mid; //根值偏小，升高下边界
		};
		if (mid*mid > n - PRECISION) {
			max = mid;//根值偏大，降低上边界
		}
	}
	return mid;
}

//牛顿法
float sqrt2(float n) {
	float k = n;
	while (1) {
		if (k*k > n - PRECISION && k*k < n + PRECISION) {
			break;
		}
		k = 0.5*(k + n/k);//通过牛顿法得出
	}
	return k;
}
int main() {
	float a = 11.283;
	float res1, res2;
	res1 = sqrt1(a);
	res2 = sqrt2(a);
	cout << "num is "<< a << endl;
	cout << "二分法结果: " << res1 << endl;
	cout <<"牛顿法结果: "<< res2 << endl; 
	cout << "二分法验证: " << res1 * res1 << endl;
	cout <<"牛顿法验证: "<<res2 * res2 << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

对于二分法，看注释就可以看得很明白了。对于牛顿法，有着更简洁的代码，但需要花一点数学思维来理解。其实，直接看牛顿法会对这道题的理解更费解，因为牛顿法的目标并不是为了开根号。很多博主也不太负责任的直接贴上牛顿法的证明方法，对于读者理解这道题来说反而有误导作用。

牛顿法的目的是求方程的近似解，即函数曲线与横坐标的交点。比如， $f(x)=x^5+2x^2+8$ ，求f(x)=0时，x的值。

那么这个牛顿法跟开根号有什么关系呢， $f(x)=\sqrt x$ 可以转换一个思路， $x = y^2$ ==> $y^2 - x = 0$

还有点难理解对吧，对于求开方，我们可以确定知道x的值，比如x=67，y=?。

那么上述公式就等价于 $f(y) = y^2 - 67$ ，求f(y)=0时，y的取值。这样一来就可以转换成牛顿法来解决。我们可以画出f(y)的图像，其实就是f(y)=y^2标准抛物线向下平移67个单位的样子：

上述图像就是x=67时的转换图像，我们要求图像和x轴正半轴的交点(根号值只可能为正)，即上图标出的y点。

首先，在x轴右半轴上任意取一点p，p点作垂线求得与曲线的交点，即f(p)，如上述黑线所示，p点未标出(就是y点左边那个交点)。

求出f(p)之后，再对点（p, f(p)）作一条切线，这条切线务必与x轴有一个交点(这个交点比p更接近y)。

我们可以用同样的方法对这个交点操作一遍(如红线所示)，那么新交点一定会更接近y。取最后一个epoch的取值当作y的近似值。

那么，就可以建立一种数学联系。

设第一个点为(p1,0)，则其垂线与曲线交点为f(p1)，则切点为(p1, f(p1))，切线斜率为f '(p1)，知道斜率和一个确定点，就可以确定这条直线(切线)，那么自然可以求得这条切线与x轴的交点(p2,0)。以此来确定，p2和p1之间的对应关系，这种对应关系可以泛化到p_{n+1}对pn的对应关系。

可以简单推一推：

上面得出 $p_{n+1}$ 比 $p_n$ 更接近y值的结论，所以我们只需把p的下标增大点就可以无限接近y了。

带入到原式子可以得到，k = 0.5*(k + n/k)

k代表的就是p，n代表的就是x。

两种方法对浮点数求根号(二分法和牛顿法)

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