【笔记】线段树

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  与区间有关的操作，比如统计线段的长度、记录一个区间内子线段的分布、统计落在区间内的数据频率等，并在线段或数据的插入、删除和修改中维护这些特征值。线段树具有良好的树形二分结构，能够高效地完成这些操作。

一、线段树的基本概念

  一颗二叉树，即为T(a,b)，参数a，b表示该节点表示区间[a,b]。区间长度b-a记为L。递归定义T[a,b]：
  若区间长度L>1：区间$[a,\lfloor \frac{a+b}{2}\rfloor]$为T的左儿子，区间$[\lfloor \frac{a+b}{2}\rfloor+1,b]$为T的右儿子。
  若区间长度L=1：T为一个叶子结点，表示区间[a]。

  叶结点为区间内的所有数据点。在对分枝结点的区间中点分界时，数据点要么落在左子树的底层，要么落在右子树的底层。如果进行区间运算的话，则可能存在“跨越”的情况，删除或插入区间内的每个点时都必须深入到叶结点，因此一般来说需要$log_2 n$的时间复杂度。线段树一方面可以方便计数，另一方面由于它实际上是排序二叉树，所以容易找出最大值和最小值来。
  线段树一般采用结构数组a[]存储，如果结点a[i]代表区间[l,r]的话，则左儿子a[2*i]代表左子区间$[l,\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor]$，右儿子a[2*i+1]代表右子区间$[\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor+1,r]$。每个节点除需要记录所代表区间的左右指针外，还可根据需要增设一些特殊的数据域，例如所代表的子区间是否为空；如果不为空的话，有多少线段覆盖本子区间，或哪些数据落在本子区间内，以便插入或删除线段时动态维护。

二、线段树的基本操作

  线段树的基本操作包括：

• 建立线段树
• 在区间内插入线段或数据
• 删除区间内的线段或数据
• 动态维护线段树

1.建立线段树

  在区间[l,r]插入或删除线段操作前，需要为该区间建立一颗线段树，依照二分策略将区间[l,r]划分出$tot(tot \leq 2*log_2(r-l))$个空的子区间，这些子区间暂且未被任何线段所覆盖。tot为全局变量，记录一共用到了多少个节点。建树前tot=0，建立线段树T(l,r)的过程：

void build_tree(int l,int r,int i)
{
    节点i的数据域初始化
    if(1==r)
    {
        设置数据所在的节点序号
    ｝
    int mid=(l+r)/2;
    build_tree(1,mid,i+i);
    build_tree(mid+1,r,i+i+1);
}

  在插入、删除线段或数据操作前，一般需要调用Build过程，设置结点序号、左右指针和数据域初始化。