注：此博客写于 2017.12
可持久化线段树
常见的一个实现是主席树，由HJT主席引入中国OI界。
基本思想
考虑一颗不同的线段树，进行单点修改。注意到每一次只会修改 \(\log\) 个节点。
引入函数式编程的思想，我们不进行修改，而是新建节点。操作的时间复杂度仍然为 \(O(log n)\)，但是空间为 \(O(n log n)\)。
从第 \(i\) 个根开始访问即可得到第 \(i\) 次修改后的历史版本。
经典应用：区间K小值。
考虑建立权值线段树，按照下标插入，\([l,r]\) 中，某个元素出现了多少遍，可以通过 \(r\) 和 \(l-1\) 版本的线段树作差得到。然后在主席树上二分即可。
一些好题
BZOJ1146-[CTSC2008]网络管理Network 维护一棵树，要求支持：单点修改权值，路径第 \(K\) 大。
\(n, Q \leq 80000\)
树上带修改主席树，真·裸题。 首先这道题从2个log到4个log的算法都能过。话说zzd Dalao用了二分答案+树链剖分+主席树，竟然只比两个log慢4倍！
树上主席树有一个常见的套路：每一个节点的版本，都是在父节点的基础上修改。这样 \(root[x] + root[y] - root[lca(x,y)] - root[fa[lca(x,y)]]\) 就得到这条链了。
再考虑这个带修改。注意到，一个点修改之后，只对它的子节点与外界的询问有影响。稍微分类讨论一下，就能发现，我们只需要修改子树中所有版本即可。
这个可以用树状数组套权值线段树解决。修改的时候，需要改变 \(\log\) 个节点；查询的时候，也只需要考虑 \(\log\) 个节点的贡献总和。
复杂度 \(O(n \log ^ 2 n)\)
BZOJ3674-可持久化并查集加强版 维护可持久化并查集。
可持久化数组。 注意到主席树就是一个可持久化数组，维护并查集的 \(fa,rank\) ，按秩合并即可。
BZOJ2653-middle 给定一个长度为 \(n\) 的序列，和若干个询问。每个询问 \((a,b,c,d)\) 要求求出 \(l\) 在 \([a,b]\) 之间， \(r\) 在 \([c,d]\) 之间的，构成的子序列的中位数的最大值。
二分答案，主席树，中位数。 中位数嘛，有一个常见的套路：二分答案 \(x\) ，令所有小于 \(x\) 为 \(-1\)，否则为 \(1\) 。如果左后所有数之和大于等于 \(0\) ，说明符合要求，可以继续变大。
这题同样也是二分答案。注意到，对于区间 \([b,c]\) 是一定要选择的。而对于 \([a,b-1]\) 和 \([c+1,d]\) 我们最好是选择一个最大的前缀和后缀。就是线段树最基础的维护了。
预处理主席树的时候，默认所有数都为 \(1\) ，插入一个数之后，修改对应的位置为 \(-1\) ，这样就能方便判断了。
BZOJ3545-[ONTAK2010]Peaks 给定一张图，每个点有点权，边有边权。查询 \((v,x,k)\) 要求回答：从 \(x\) 出发，走边权不超过 \(x\) 的边，能都到达的第 \(k\) 大点权。
并查集虚拟点，dfs序，主席树。 显然，根据最小瓶颈树的理论，求出的最小生成树一定是最优的。
考虑按照边权从小到大插入。对于边 \((u,v)\) ，我们找到它们对应的祖先 \(a,b\) 造一个虚拟点 \(c\) 对应的点权是 \((u,v)\) 的边权。
这样有什么用处呢？发现对于点 \((x,y)\) ，他们的 \(lca\) 对应的点权，就是从 \(x\) 到 \(y\) 需要经过路径最大值的最小值。
这样就可以搞出整棵，包含 \(2n-1\) 个节点的树了。首先倍增预处理，对于 \(v\) ，我们倍增向上跳到点 \(u\)，但是点权不能超过 \(x\) ，那么， \(v\) 能达到的点就是 \(u\) 的子树！
dfs序预处理一下，然后就是区间K大了。
BZOJ3772-精神污染 给定一棵树，和若干条路径，求其中一条路径包含另一条路径的概率。
欧拉序，主席树。 确实是一道好题。注意到，这相当于求 一条路径的两个端点都在另一条路径上的方案数。
考虑首先限制 \(x\) 。对于 \((x,y)\)，每个点建一棵主席树，\(x\) 在父亲版本的基础上加入另一个端点 \(y\)。
对于查询路径上两个端点都被包含，相当于是路径上插入的另一个点也在路径上。
于是问题就转化为 统计路径上的点数之和。
可以用欧拉序：保存一个节点入栈和出栈的时间。入栈的位置 \(+1\) ,出栈的位置 \(-1\)。
有一个很神奇的性质：\((x,y)\) 之间的点数之和（\(x,y\)是祖先/后代关系），就是 \([in[x],in[y]]\)之和（其他节点都没有计算，或者被抵消；其实就是 \((x,y)\)当前还在栈中）。路径就拆成 \([x,lca],[lca,y],[lca,lca]\)。
主要代码，
void insert(int &o, int l, int r, int x, int y);
int query(int o1, int o2, int o3, int o4, int l, int r, int x, int y) {
if (l == x && y == r) return T[o1].sum + T[o2].sum - T[o3].sum - T[o4].sum;
...
}
void dfs1(int u) {
in[u] = ++clk;
...
out[u] = ++clk;
}
void dfs2(int u) {
root[u] = root[fa[u][0]];
loop (k, headV[u], linkV) {
insert(root[u], 1, 2*n, in[v[k]], 1);
insert(root[u], 1, 2*n, out[v[k]], -1);
}
...
}
int main() {
rep (i, 1, m) {
a[i] = read(); b[i] = read();
addEdge(headV, v, linkV, sizeV, a[i], b[i]);
}
dfs1(1);
...
dfs2(1);
rep (i, 1, m) {
c = lca(a[i], b[i]);
ans += query(root[a[i]], root[b[i]], root[c], root[fa[c][0]], 1, 2*n, in[c], in[a[i]]);
ans += query(root[a[i]], root[b[i]], root[c], root[fa[c][0]], 1, 2*n, in[c], in[b[i]]);
ans -= query(root[a[i]], root[b[i]], root[c], root[fa[c][0]], 1, 2*n, in[c], in[c]) + 1;
}
...
return 0;
}BZOJ4546-[CodeChef]XRQRS 给定一个初始时为空的整数序列以及一些询问：
类型1：在数组后面就加入数字 \(x\)。
类型2：在区间 \([L,R]\) 中找到 \(y\)，最大化 \(x xor y\)。
类型3：删除数组最后 \(K\)个元素。
类型4：在区间 \([L,R]\) 中，统计小于等于 \(x\) 的元素个数。
类型5：在区间 \([L,R]\) 中，找到第 \(k\) 小的数。
可持久化Trie树。 本质上就是主席树，都是最基础的操作。需要注意的是操作 \(2\) ，就是经典的 Trie树 上贪心。