[学习笔记]线段树合并

1、[POI2011]ROT-Tree Rotations

分析：线段树合并人生第一题。

网上的题解我都没看懂……我自己讲一下好了

线段树合并就是把两棵权值线段树合并到一棵

那怎么合并呢？

假设有这么两棵树：

一个结点代表一段值域区间有几个数，那么可以看出合并后应该是这样的

然后具体步骤就是找到一个结点，如果一个结点一棵树上有一棵树上没有，那么直
接返回那个结点的编号，否则两个值域的和相加，递归至左儿子和右儿子

每次合并的复杂度为两棵线段树的点数相加

这道题可以算出左儿子的逆序对个数，右儿子的逆序对个数，然后求出 \((x,y)\) 的对数， $x\in $ 左儿子， $y\in $ 右儿子

每次记录一下 \(sum\)，在每次合并的时候 \(sum[lson[x]]\times sum[rson[y]]\) 和 \(sum[rson[x]]\times sum[lson[y]]\) 中取个最小值算进答案的贡献就可以了（不懂可以自己画图或看代码理解一下）

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=200000+10;
int n,L[maxn*24],R[maxn*24],sum[maxn*24],cnt;
ll ans,num1,num2;

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

void update(int &now,int l,int r,int x){
    if(!now) now=++cnt;
    sum[now]++;
    if(l == r) return ;
    int mid=l+r>>1;
    if(x <= mid) update(L[now],l,mid,x);
    else update(R[now],mid+1,r,x);
}

void merge(int &x,int y){
    if(!x||!y){
        x=x+y;
        return ;
    }
    sum[x]+=sum[y];
    num1+=(ll)sum[R[x]]*sum[L[y]];
    num2+=(ll)sum[L[x]]*sum[R[y]];
    merge(L[x],L[y]);
    merge(R[x],R[y]);
}

void dfs(int &x){
    int val,lson=0,rson=0;
    val=read();
    if(!val){
        dfs(lson);dfs(rson);
        num1=num2=0;x=lson;
        merge(x,rson);
        ans+=min(num1,num2);
    }
    else update(x,1,n,val);
}

int main()
{
    n=read();
    int x=0;
    dfs(x);
    printf("%lld\n",ans);   
    return 0;
}

2、[Vani有约会]雨天的尾巴

分析：考虑树上查分。这次权值线段树维护最多救济粮的编号 \(val\) 和 最多救济粮的个数 \(sum\)，在叶子节点更新一下，最后 \(pushup\) 一下

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int size=100000;
int n,m,ans[maxn],rt[maxn],L[maxn*80],R[maxn*80],val[maxn*80],sum[maxn*80],cnt;
int head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot;
int top[maxn],dep[maxn],siz[maxn],son[maxn],fa[maxn];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y){
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}

void dfs1(int x,int f){
    siz[x]=1;fa[x]=f;
    dep[x]=dep[f]+1;
    int maxson=-1;
    for(int i=head[x],y;i;i=nxt[i]){
        y=to[i];
        if(y==f) continue;
        dfs1(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(maxson<siz[y]){
            maxson=siz[y];
            son[x]=y;
        }
    }
}

void dfs2(int x,int topf){
    top[x]=topf;
    if(son[x]) dfs2(son[x],topf);
    for(int i=head[x],y;i;i=nxt[i]){
        y=to[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

int LCA(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}

void pushup(int now){
    if(sum[L[now]]>sum[R[now]]) sum[now]=sum[L[now]],val[now]=val[L[now]];
    else if(sum[L[now]]<sum[R[now]]) sum[now]=sum[R[now]],val[now]=val[R[now]];
    else sum[now]=sum[L[now]],val[now]=min(val[L[now]],val[R[now]]);
}

void update(int &now,int l,int r,int x,int v){
    if(!now) now=++cnt;
    if(l == r){sum[now]+=v;val[now]=sum[now]?l:0;return ;}
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) update(L[now],l,mid,x,v);
    else update(R[now],mid+1,r,x,v);
    pushup(now);
}

void merge(int &x,int y,int l,int r){
    if(!x||!y){x=x+y;return ;}
    if(l == r){sum[x]+=sum[y];val[x]=sum[x]?l:0;return ;}
    int mid=l+r>>1;
    merge(L[x],L[y],l,mid);
    merge(R[x],R[y],mid+1,r);
    pushup(x);
}

void dfs(int x,int f){
    for(int i=head[x],y;i;i=nxt[i]){
        y=to[i];
        if(y==f) continue;
        dfs(y,x);
        merge(rt[x],rt[y],1,size);
    }
    ans[x]=val[rt[x]];
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    int x,y,z,lca;
    for(int i=1;i<n;i++){
        x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);dfs2(1,1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        x=read(),y=read(),z=read();
        lca=LCA(x,y);
        update(rt[x],1,size,z,1);
        update(rt[y],1,size,z,1);
        update(rt[lca],1,size,z,-1);
        if(fa[lca]) update(rt[fa[lca]],1,size,z,-1);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

3、CF600E Lomsat gelral

分析：这次再维护一个 \(val\) 最大的和 \(ans\)，从下向上合并即可

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
#define mid (l+r>>1)
#define lson L[now]
#define rson R[now]
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
const int size=100000;
int n,m,a[maxn],an[maxn],rt[maxn],cnt;
int L[maxn*20],R[maxn*20],sum[maxn*20],val[maxn*20],ans[maxn*20];
int head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot;

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y){
    to[++tot]=y;
    nxt[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}

void pushup(int now){
    sum[now]=(sum[lson]>sum[rson])?sum[lson]:sum[rson];
    val[now]=(sum[lson]>sum[rson])?val[lson]:val[rson];
    ans[now]=((sum[lson]>=sum[rson])?ans[lson]:0)+((sum[lson]<=sum[rson])?ans[rson]:0);
}

void update(int &now,int l,int r,int x){
    if(!now) now=++cnt;
    if(l == r){sum[now]++;val[now]=ans[now]=l;return ;}
    if(x <= mid) update(lson,l,mid,x);
    else update(rson,mid+1,r,x);
    pushup(now);
}

void merge(int &x,int y,int l,int r){
    if(!x||!y){x=x+y;return ;}
    if(l == r){sum[x]+=sum[y];val[x]=ans[x]=l;return ;}
    merge(L[x],L[y],l,mid);
    merge(R[x],R[y],mid+1,r);
    pushup(x);
}

void dfs(int x,int f){
    for(int i=head[x],y;i;i=nxt[i]){
        y=to[i];
        if(y==f) continue;
        dfs(y,x);
        merge(rt[x],rt[y],1,size);
    }
    an[x]=ans[rt[x]];
}

signed main()
{
    n=read();
    int x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<n;i++){
        x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        update(rt[i],1,size,a[i]);
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld ",an[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

搞了一个下午线段树合并，还是很有成就感滴！