计算几何实践2：几何物体及交叉判断

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2017-12-10

  我们可能在程序中见到非常复杂的图形，但是，他们可以最简单的线段拼接而成。所以，线段是我们关注的重点，其次才是三角形。

  1 线段交叉判断
  线段交叉判断是最为基础的算法。最简单的场景：判断两个独立的线段是否相交。算法相当简单。把两条线段延长为直线，看直线是否相交，如果相交，判断焦点是否在一条线段上。判断直线是否相交可以转换成一个二元方程组是否有解的问题。判断一个点是否在线段上的方法：把点投影到直线上，投影点为p，判断p是否在线段AB内。此处因为交点已经在直线上了，故只需要检查是否在线段内。

    

  示例代码参见chapt2/line.py
  如果我们有两个线段的集合，需要计算他们之间有多少个交点呢？简单的做法是每两个线段之间相交检测，算法复杂度为O(n2)。有没有更好的算法呢？有的， 平面扫描算法。这类算法，可称为“输出敏感的算法”，亦称为“交点敏感算法”。它的算法运行时间取决于交点的个数。这个问题很常见，如两个多边形交点个数求解，检查多边形是否边界是否自交，多边形分解（ Voronoi diagram， Delaunay triangulation），多边形Boolean操作。在机器人及运动规划、碰撞检测，图形学中极为常见。具体问题及算法分析，请参考链接3，4。算法复杂度为O（n log n + R）， R为交点个数。链接6是一个不错的视频。因为这类算法有些复杂，我将抽出单独的一篇blog来讲讲解。

  2 半边结构（ Doubly-Connected Edge List）

  这个翻译有点奇怪啊，但是的确非常形象。这是图形学算法的基础，是一种图形的表示方法。链状的表示了图形的拓扑结构。使用这种数据结构重要的原因有：算法效率比较高。数据结构非常简单，一般在把planar graph按照需求变成网格（三角网格，四边形网格，多边形网格等）的过程中构建这个数据结构。可参考的Python实现有：  anglyan/ dcel。

  3 多边形（多面体）覆盖计算

  相交测试是计算几何的基础之基础。简单的有二维平面上多边形的相交测试，复杂的有高维空间的convex hull相交测试，至于concave hull相交测试，似乎极难以处理。在这里，简单的梳理一下常见的相交测试。

1. 三角形
2. （凸）多边形
3. 三面体
4. cuboid/frustum
5. convex hull

  说起来简单，其实连最简单的情形”三角形相交测试“都需要初学者花费一天的时间来搞明白、实现出来。更不用说后面的体相交测试。如果个人时间充足，还是尽量尝试着实现算法吧。工作了之后，再想抽出这样充足连续的时间是非常困难的。复杂物体的相交测试用到一个算法： 分离轴算法。基本思路类似于平面扫描算法。在二维空间内，无论Polygon是否convex，相关的算法还是比较简单的。所以，一般也没有区分。三维，甚至高维空间内，非凸包相交检测算法极为困难，甚至凸包相交检测都非常困难，最优化课程中有讲解。高维空间的凸包（convex hull）的相交测试算法对于一般的3D应用也没有意义，不要管了。因为PyQt就自带了常见二维图形的相交测试函数。我实在不想自己搞一遍了，如果以后有时间了，就挑一些重点的函数实现一遍。所以，我现在关注的重点是三维物体。

  对于三维相交测试，一个简单的加速策略是对物体生成 包围盒。因为计算量真的可能非常大。常见的包围盒是：OBB( Minimum bounding box)。AABB是OBB的一种特殊情形，不能旋转。其他类包围盒的物体有：胶囊，圆柱体，椭球，球体，三角形，convex hull。我们只需要考虑最常见的OBB即可，它能满足80%的需求。我们在软件运行过程中，很少会改变物体的包围盒，却经常需要包围盒来做相交测试，非常划得来。在常见的算法包中都应该有这些工具。在这里推荐一个简单的相交测试算法库： MathGeoLib。lib很小，功能仅限于简单的几何形状表达和几何算法。我最近在做一个CAD任务，就直接使用了这个lib。
    至于物体（mesh）与一般的包围盒相交测试，反而简单，大不了就直接遍历顶点，要么想加速，空间划分一下即可。PyQt4似乎还是只支持老的OpenGL API。PyQt5才能支持VAO，VBO等。稍后会用PyQt5写一个3D窗口程序来展示3D相交测试的例子吧。

  4 多边形boolean 操作。
   boolean操作有：union, intersection, difference。就是上面的多边形覆盖算法的一种使用。两个常见2D polygon boolean算法lib有： pyclipper，  Polygon。至于convex polyhedra 的Boolean操作lib，我还没有看到成熟的lib。说明这类问题真的不好计算。至于这个难度，似乎就更大一些了。我们的CAD程序中没有这个需求。感觉游戏里类似的需求更少了。应该不需要关注。

1. http://pyqt.sourceforge.net/Docs/PyQt4/
2. Computational Geometry(Mark de Burg)
3. https://github.com/ldw5258/lipt/blob/master/algorithm/flatscanning.org
4. http://geomalgorithms.com/a09-_intersect-3.html
5. http://pyqt.sourceforge.net/Docs/PyQt4/qpainter.html#drawConvexPolygon-2
6. https://www.youtube.com/watch?v=dePDHVovJlE