一、基础概念

1.点：

在解决平面几何问题时，都是在平面坐标系下计算。点都用A(x,y)来表示。

对于一个点(x,y)，它既可以表示一个点，也可以表示一个向量。

2.向量

向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。如果给定了向量的起点 A 与终点B ，则向量可以表示为 $\overrightarrow{AB}$ ，也可以用字母（如a、b、u、v）表示（书写时需要在字母顶加上小箭头）。

用一个点表示一个向量，它的起点就是原点。

若起点A(x1,y1)，终点B(x2,y2)，那么 $\overrightarrow{AB}$ 可以表示为(x2-x1,y2-y1)。

向量的模

对于一个向量 $\underset{a}{\rightarrow}$ ，它的长度，也就是它的大小，称作向量的模，用| $\underset{a}{\rightarrow}$ |表示。

若 $\underset{a}{\rightarrow}$ 的坐标表示为(x,y)，那么它的模就是| $\underset{a}{\rightarrow}$ |= $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。

向量的加减法：

可以用坐标直观地表示出来。

对于 $\underset{a}{\rightarrow}$ 和 $\underset{b}{\rightarrow}$ ，如果它们用点表示分别为：(x1,y1)，(x2,y2)，那么 $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{b}{\rightarrow}$ = $\underset{c}{\rightarrow}$ =(x1+x2,y1+y2)。

构造一个平行四边形取其对角线大概就是这个向量。

向量的乘除法：

代表向量的伸长或缩短，乘以一个负数可以使向量的方向反向。

$\underset{a}{\rightarrow}$ =(x,y)，则： $\underset{a}{\rightarrow}$ *k=(kx,ky)， $\underset{a}{\rightarrow}$ /k=(x/k,y/k)。

向量的夹角

在空间里任取一点O，再任取两点A，B，令 $\overrightarrow{OA}$ = $\underset{a}{\rightarrow}$ ， $\overrightarrow{OB}$ = $\underset{b}{\rightarrow}$ ，则∠AOB叫做 $\underset{a}{\rightarrow}$ 和 $\underset{b}{\rightarrow}$ 的夹角，记作< $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ >

向量的点积

对于两个向量： $\underset{a}{\rightarrow}$ =(x1,y1)， $\underset{b}{\rightarrow}$ =(x2,y2)，它们的点积用 $\underset{a}{\rightarrow}$ · $\underset{b}{\rightarrow}$ 表示， $\underset{a}{\rightarrow}$ · $\underset{b}{\rightarrow}$ =x1*x2+y1*y2。它的结果是一个标量。

它的几何意义是 $\underset{a}{\rightarrow}$ 在 $\underset{b}{\rightarrow}$ 方向上的投影与| $\underset{b}{\rightarrow}$ |的乘积。即： $\underset{a}{\rightarrow}$ · $\underset{b}{\rightarrow}$ =| $\underset{a}{\rightarrow}$ |*| $\underset{b}{\rightarrow}$ |*cos< $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ >。

图像上就是OH*OB。∠AOH就是< $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ >。

用途：

由它的几何意义可知： $\underset{a}{\rightarrow}$ · $\underset{b}{\rightarrow}$ =0 $\Leftrightarrow$ $\underset{a}{\rightarrow}$ ⊥ $\underset{b}{\rightarrow}$ ，同时，利用点积的式子也可以算出夹角的余弦值，进而知道夹角的大小。

同时，一个与 $\underset{a}{\rightarrow}$ =(x,y)垂直的向量为 $\underset{b}{\rightarrow}$ =(y,-x)。

向量的叉积

很复杂的一个东西，建议自行百度。做题记一下结论就行了。

我们定义二维叉积为a×b=x1y2-x2y1，它的几何意义是，叉积结果大小=以a，b两条边为邻边所作成的平行四边形的有向面积。即：a×b=|a|×|b|×sin<a,b>。

用途：

根据叉积结果，我们可以判断a，b的方向。若a×b>0，则b在a的逆时针方向。若a×b<0，则b在a的顺时针方向。

同时可以推出：a×b=-b×a，a×b=0 $\Leftrightarrow$ a,b共线。

向量的旋转

向量a=(x,y)沿起点逆时针旋转 $\theta$ (弧度)，得到的向量b的坐标为b=（(x*cos $\theta$ )-(y*sin $\theta$ )，(x*sin $\theta$ )+(y*cos $\theta$ )）。证的话用和角公式套一下再展开就行了。

3.线段：

①可以用两个端点来表示，例如：线段AB。

②可以用一个点+向量来表示。

点-点=向量；点+向量=点；点-向量=点。

线段AB上的任意一点C满足：∀C∈AB，∃p∈[0,1]，C=pA+(1-p)B【A、B是向量，C也是向量。】

4.弧度制

用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫做弧度制，用符号rad表示，读作弧度。等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

二、几个问题

求两直线（线段）的交点（假设有交点且两直线不共线）

S1= $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}$ ，S2= $\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BC}$ ，那么 $E=A+\frac{\overrightarrow{AB}\times{S1}}{S1+S2}$

【E指向量 $\overrightarrow{OE}$ 】

求E到直线AB的垂足D：

$D=A+\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\times{\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AB}|}}=\overrightarrow{AB}\times\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}$

那么： $D=A+\overrightarrow{AB}\times\frac{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}$

求多边形面积

大概就是把多边形分成很多的三角形，三角形的面积是有向的，然后加起来大概就会抵消一部分，就变成多边形面积了。

判定点的位置

具体见博客

【计算几何】

一、基础概念

二、几个问题

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