一.概念：
朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。首先学习贝叶斯理论。
二.贝叶斯理论 ：
1 贝叶斯决策理论
假设现在我们有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如下图所示：
我们现在用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于类别1(图中红色圆点表示的类别)的概率，用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于类别2(图中蓝色三角形表示的类别)的概率，那么对于一个新数据点(x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：
- 如果p1(x,y) > p2(x,y)，那么类别为1
- 如果p1(x,y) < p2(x,y)，那么类别为2
也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。已经了解了贝叶斯决策理论的核心思想，那么接下来，就是学习如何计算p1和p2概率。
2 条件概率
在学习计算p1和p2概率之前，我们需要了解什么是条件概率(Condittional probability)，就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。
根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。
因此，
同理可得，
所以，
即
这就是条件概率的计算公式。
3 全概率公式
除了条件概率以外，在计算p1和p2的时候，还要用到全概率公式，因此，这里继续推导全概率公式。
假定样本空间S，是两个事件A与A’的和。
上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A’，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。
即
在上一节的推导当中，我们已知
所以，
这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A’构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A’的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：
4 贝叶斯推断
对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：
我们把P(A)称为”先验概率”（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
P(A|B)称为”后验概率”（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
P(B|A)/P(B)称为”可能性函数”（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
所以，条件概率可以理解成下面的式子：
后验概率 ＝ 先验概率 ｘ 调整因子- 这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率”，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了”先验概率”，由此得到更接近事实的”后验概率”。
在这里，如果”可能性函数”P(B|A)/P(B)>1，意味着”先验概率”被增强，事件A的发生的可能性变大；如果”可能性函数”=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果”可能性函数”<1，意味着”先验概率”被削弱，事件A的可能性变小。
5 朴素贝叶斯推断
理解了贝叶斯推断，那么让我们继续看看朴素贝叶斯。贝叶斯和朴素贝叶斯的概念是不同的，区别就在于“朴素”二字，朴素贝叶斯对条件个概率分布做了条件独立性的假设。 比如下面的公式，假设有n个特征：
由于每个特征都是独立的，我们可以进一步拆分公式
这样我们就可以进行计算了。如果有些迷糊，让我们从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。
6 极大似然估计
模型推导
极大似然估计法认为参数是固有的，但是可能由于一些外界噪声的干扰，使数据看起来不是完全由参数决定的。没关系，数学家们觉得，虽然有误差存在，但只要让在这个数据给定的情况下，找到一个概率最大的参数就可以了。那问题其实就变成了一个条件概率最大的求解，即求使得p(θ|D)p(θ|D) 最大的参数θθ，形式化表达为求解
argmaxθp(θ|D)
而根据条件概率公式有
因为我们在极大似然估计中假设 θθ 是确定的，所以p(θ)p(θ)就是一个常数。p(D)p(D) 同样是根据已有的数据得到的，也是确定的，或者我们可以把其看作是对整个概率的一个归一化因子。这时候，求解公式(1)(1) 就变成了求解
的问题。
(3)式中的p(D|θ)p(D|θ) 就是似然函数，我们要做的就是求一个是似然最大的参数，所以称为极大似然估计。
想求解这个问题，需要假设我们的数据是相互独立的。D={x1,x2,x3,...,xn}D={x1,x2,x3,...,xn}，这时候有
一般对(4)式取对数求解对数极大似然，就可以把连乘变成求和，然后求导取极值点就是要求的参数值，不在此赘述。
实例
为了便于理解，我们以之前的抛硬币实验作为实例。
回到当时我们一开始抛硬币实验，D=(1,1,0)D=(1,1,0) , θ=ρθ=ρ 的话，我们可以得到
然后使用对数极大似然估计就可以得到参数ρ 的值了。
7 可能的问题以及改进
A.贝叶斯估计
https://blog.csdn.net/liu1194397014/article/details/52766760
用极大似然估计可能出现所要估计的概率为0的情况， 这样会影响到计算后验概率的结果。采用贝叶斯估计，条件概率的贝叶斯估计是：
其中懒么大（>=0）。当=1时，称为拉普拉斯平滑。
B.解决下溢出：
另外一个遇到的问题就是下溢出，这是由于太多很小的数相乘造成的。学过数学的人都知道，两个小数相乘，越乘越小，这样就造成了下溢出。在程序中，在相应小数位置进行四舍五入，计算结果可能就变成0了。为了解决这个问题，对乘积结果取自然对数。通过求对数可以避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。同时，采用自然对数进行处理不会有任何损失。
三 总结
朴素贝叶斯推断的一些优点：
- 生成式模型，通过计算概率来进行分类，可以用来处理多分类问题。
- 对小规模的数据表现很好，适合多分类任务，适合增量式训练，算法也比较简单。
朴素贝叶斯推断的一些缺点：
- 对输入数据的表达形式很敏感。
- 由于朴素贝叶斯的“朴素”特点，所以会带来一些准确率上的损失。
- 需要计算先验概率，分类决策存在错误率。
参考资料：
- Jack-cui https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/77341116
- 李航《统计学》