概率(Probability)的定义和性质

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概率的定义：

描述性定义：
在相同的条件下，独立重复地做$N$次试验，当试验次数$N$很大时，如果事件$A$发生的频率$f_N(A)$稳定地在$[0,1]$内的某一个数值$p$，而且一般来说随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值$p$为事件$A$发生的概率，记为$P(A)=p$。

公理化定义：
设$E$为随机试验，$\Omega$是它的样本空间，对于$E$的每一个事件$A$赋予一个实数，记为$P(A)$，如果集合函数$P(·)$满足下列条件：
(1)非负性：对于每一个事件$A$，$P(A)\geqslant 0$；
(2)规范性：$P(\Omega) = 1$
(3)可列可加性：对于两两互斥的事件$A_1,A_2,...,A_i,...,A_j,...,A_n$，即$A_iA_j = \phi(i \neq j)$有：

$$P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)$$ 则称实数 $P(A)$为事件 $A$的概率。

概率的性质：

性质1：
不可能事件$\phi$的概率为0，即$P(\phi)=0$

性质2：
有限可加性，若$A_1,A_2,...,A_i,...,A_j,...,A_n$为两两互斥事件，即$A_iA_j=\phi(i \neq j)$，则有

$$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)$$

性质3：
设$A$，$B$是两个事件，$P(B-A) = P(B) - P(BA)$；特别的，若$A \subset B$，则:
(1)$P(B-A)=P(B) - P(A)$,
(2)$P(B) \geqslant P(A)$

性质4：
对于任一事件$A$，有$P(A) \leqslant 1$

性质5：
对于任一事件$A$，有$P(\overline A) = 1-P(A)$

性质6：
对于任意两个事件$A$、$B$有$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$;特别地，若$A$与$B$互斥，则有$P(A\cup B) = P(A) + P(B)$。
上述公式通常称为概率加法公式：

$$P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) = \sum_{i=1}^{n}P(A_i)-\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n}P(A_iA_j)+\sum_{1\leqslant i < j <k \leqslant n}P(A_iA_jA_k)+...+(-1)^{n-1}P(A_iA_j...A_n)$$

重要的概率关系公式：

1. $P(AB)=P(A)P(B)$
2. $P(A-B)=P(A)-P(AB)$
3. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$