机器学习——k-近邻算法（0-9手写数字识别）

所谓k-近邻算法，即是给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例（也就是上面所说的k个邻居）， 这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类到这个类中。

k-近邻算法中，最重要的是距离计算，这些公式在初、高中就已经学习过了。但是，那时候学习的是基本的三维空间。我们知道，三维空间中$A(x_2,y_2,z_2)、B(x_1,y_1,z_1)$两点的距离计算公式，

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

这里拓展到多维度空间。分类问题，一般输入为n维度的特征（比如，图像的话一般为$height \times width$矩阵，需要先转换为$n \times 1$维度）。那么，对于$n$维度特征两点$\alpha(A_1,A_2, \dots,A_n)、 \beta(B_1,B_2, \dots , B_n)$距离的计算公式，

$$d = \sqrt{(B_1-A_1)^2+(B_2-A_2)^2+\dots+(B_n-A_n)^2}$$

• inX是一个$[1 \times n]$的特征向量（inX是未知点，需要被分类），相当于dataSet中的一行。比如，

$$inX = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.5 \end{bmatrix}$$

• dataSet是一个$[m \times n]$带标签（labels）的数据集，每行表示一条数据，总共m条数据，比如，

$$dataSet = \begin{bmatrix} 1.0 & 1.1 \\ 1.0 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0.1 \end{bmatrix} <map> \begin{bmatrix} A \\ A\\B\\B \end{bmatrix} = labels$$

k-近邻算法（kNN.py）

def classify0(inX, dataSet, labels, k):
    dataSetSize = dataSet.shape[0]
    diffMat = np.tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet
    sqDiffMat = diffMat**2
    sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
    distances = sqDistances**0.5
    sortedDistIndicies = distances.argsort()
    classCount = {}
    for i in range(k):
        voteIlabel = labels[sortedDistIndicies[i]]
        classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel, 0)+1
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key = operator.itemgetter(1), reverse=True)
    return sortedClassCount[0][0]

数据集

def createDataSet():
    dataSet = np.array([[1.0,1.1],[1.0,1.0],[0,0],[0,0.1]])
    labels = ['A','A','B','B']
    return dataSet, labels

运行k-近邻算法

if __name__=='__main__':
    dataSet, labels = createDataSet()
    ret = classify0([0.3,0.5],dataSet, labels , 3)
    print(ret)

那么，上面的k近邻算法classify0是如何计算的呢？首先，计算inX与每个已知点的距离，这时候需要先将inX拉伸，然后与dataSet做差运算。

$$inX = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.5 \end{bmatrix} <拉伸，归一化> \begin{bmatrix} 0.3 & 0.5\\ 0.3 & 0.5\\ 0.3 & 0.5\\ 0.3 & 0.5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.0 & 1.1 \\ 1.0 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0.1 \end{bmatrix} =dataSet$$

dataSetSize = dataSet.shape[0]
diffMat = np.tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet

以上，相当于完成了距离计算公式中的减法$B_1-A_1$操作（注意，这里有多个特征），同时这里打算一次性，计算被预测点与所有已知点的距离。（dataSet每行是一个已知点的特征，即$A_1,A_2$）

$$\begin{bmatrix} 0.3(B_1) & 0.5(B_2)\\ 0.3 & 0.5\\ 0.3 & 0.5\\ 0.3 & 0.5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1.0(A_1) & 1.1(A_2) \\ 1.0 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0.1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1-A_1 & B_2 -A_2 \\ \dots \end{bmatrix} \rightarrow$$

sqDiffMat = diffMat**2
sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
distances = sqDistances**0.5

接着，将所得的差进行平方。然后，再求和，此时得到一个列向量$[m \times 1]$。最后，进行开根号计算，得出被预测点与所有已知点的距离（组成一个向量$[d_1 d_2 \dots d_m]^T$）。

$$\rightarrow <平方> \begin{bmatrix} (B_1-A_1)^2 & (B_2 -A_2)^2 \\ \dots \end{bmatrix} <sum> \begin{bmatrix} (B_1-A_1)^2 + (B_2 -A_2)^2 \\ \dots \end{bmatrix} <开根号> \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ \dots \\d_m \end{bmatrix}$$

后续的工作是选择距离最小的k个点了，那么是如何完成的呢？先看几个函数的作用。

1)argsort函数，很显然返回的是由小至大的排序索引（比如，以下最小的为$a[0]=1.5$，其次为$a[3]=2.0$）。

In [1]:a = np.array([1.5,5.3,3.7,2.0,6.8])
In [2]:a.argsort()
Out[3]: array([0, 3, 2, 1, 4], dtype=int64)

$$\rightarrow \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ \dots \\d_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.92195445 \\ 0.86023253 \\ 0.58309519 \\ 0.5 \end{bmatrix} <argsort> \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} 选k=3个 \begin{bmatrix} 3\\2\\1\\ \times \end{bmatrix} <labels> \begin{bmatrix} B \\ B \\ A \end{bmatrix} \rightarrow B$$

2)classCount.get(voteIlabel, 0)，字典$<key,value>$的get方法，表示如果key不存在，则value用0来代替。
3)operator.itemgetter(1)，排序函数这里指定以字典的第二项，即value大小作为排序依据。

References:
[1] 李锐, 李鹏, 曲亚东, 王斌[译]. 机器学习实战[M]. 北京:人民邮电出版社, 2013.
[2] k近邻算法，百度百科，https://baike.baidu.com/item/k%E8%BF%91%E9%82%BB%E7%AE%97%E6%B3%95，2018-6-27

© qingdujun
2018-6-27 于 北京 怀柔

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附录（0-9手写数字识别）：

数据集地址：https://pan.baidu.com/s/1ANXq1AR84Y2e3A80T-39Fg 密码：ztik

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Jun 27 17:33:51 2018

@author: qingdujun
"""
import numpy as np
import operator,os

def classify0(inX, dataSet, labels, k):
    dataSetSize = dataSet.shape[0]
    diffMat = np.tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet
    sqDiffMat = diffMat**2
    sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
    distances = sqDistances**0.5
    sortedDistIndicies = distances.argsort()
    classCount = {}
    for i in range(k):
        voteIlabel = labels[sortedDistIndicies[i]]
        classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel, 0)+1
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key = operator.itemgetter(1), reverse=True)
    return sortedClassCount[0][0]

def img2vector(filename):
    returnVect = np.zeros((1,1024)) # 32*32 = 1024
    fr = open(filename)
    for i in range(32):
        lineStr = fr.readline()
        for j in range(32):
            returnVect[0,32*i+j] = int(lineStr[j])
    return returnVect

def handWritingClassTest():
    hwLabels = []
    trainingFileList = os.listdir('trainingDigits')
    m = len(trainingFileList)
    trainingMat = np.zeros((m,1024))
    for i in range(m):
        fileNameStr = trainingFileList[i]
        fileStr = fileNameStr.split('.')[0]
        classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
        hwLabels.append(classNumStr)
        trainingMat[i,:]=img2vector('trainingDigits/%s'%fileNameStr)
    testFileList = os.listdir('testDigits')
    errorCount = 0.0
    mTest = len(testFileList)
    for i in range(mTest):
        fileNameStr = testFileList[i]
        fileStr = fileNameStr.split('.')[0]
        classNumStr = int(fileStr.split('_')[0])
        vectorUnderTest = img2vector('testDigits/%s'%fileNameStr)
        classifierResult = classify0(vectorUnderTest, trainingMat, hwLabels, 3)
        print("the classifier came back with:%d, the real answer is:%d"%(classifierResult, classNumStr))
        if (classifierResult != classNumStr):
            errorCount += 1.0
    print("\nthe total number of error is:%d"%errorCount)
    print("\nthe total error rate is:%f"%(errorCount/float(mTest)))

if __name__=='__main__':
    handWritingClassTest()