Python机器学习算法实践——梯度上升算法

一：理论部分

给定一个样本集，每个样本点有两个维度值（X1，X2）和一个类别值，类别只有两类，我们以0和1代表。数据如下所示：

样本	X1	X2	类别
1	-1.4	4.7	1
2	-2.5 扫描二维码关注公众号，回复： 3091456 查看本文章	6.9	0
...	...	...	...

机器学习的任务是找一个函数，给定一个数据两个维度的值，该函数能够预测其属于类别1的概率。
假设这个函数的模样如下：
h(x) =sigmoid(z)
z = w0 +w1*X1+w2*X2
问题转化成了，根据现有的样本数据，找出最佳的参数w(w0，w1，w2)的值

 

为进一步简化问题，我们假设样本集只有上表中的两个。
假设现在手上已经有一个wt，也就是有了一个函数h(x)，那么我们可以把样本1和样本2的数据代进去，看看这个函数的预测效果如何，假设样本1的预测值是p1 = 0.8，样本2的预测值是：p2 = 0.4。

函数在样本1上犯的错误为e1=（1-0.8）= 0.2，在样本2上犯的错误为e2=（0-0.4）= -0.4，总的错误E为-0.20（e1+e2）。如下表所示：

样本	X1	X2	类别	预测值	error
1	-1.4	4.7	1	0.8	0.2
2	-2.5	6.9	0	0.4	-0.4
...	...	...	...	...	...

现在我们要改进wt的值，使得函数在样本1和2上犯的总错误E减小。

将wt的改进拆开来，就是分别改进它的三个分量的值，我们以w1为例。

对于样本1：
X1*e1=-1.4*0.2= -0.28
-0.28告诉我们什么呢？它告诉我们，样本1的X1和e1是异号的，减小w1的值，能够减小函数在样本1上犯的错误。为什么呢？
w1减小，则X1*w1增大（因为样本1的X1是负的），进而 z = w0 +w1*X1+w2*X2增大，又由于sigmoid函数是单调递增的，则h(x)会增大。当前的h(x)是0.8，增大的话就是在向1靠近，也就是减小了在样本1上犯的错。

对于样本2：
X1*e2=-2.5*-0.4= 1
1告诉我们，样本2的X1和e2是同号的，增大w1的值，能够减小函数在样本2上犯的错误。为什么呢？
w1增大，则X1*w1减小，进而 z = w0 +w1*X1+w2*X2减小，又由于sigmoid函数是单调递增的，则h(x)会减小。当前的h(x)是0.4，减小的话就是在向0靠近，也就是减小了在样本2上犯的错。

现在的问题就是这样的，样本1说，要减小w1的值，这样函数对我的判断就更准确了，样本2说，要增大w1的值，这样函数对我的判断就更准确了。

显然，样本1和样本2都只从自己的角度出发，对改进w1提出了各自不同意见，我们要综合它们的意见，以决定是增大w1还是减小w1，如下：

-0.28+1 = 0.72

最后的结果0.72是正的，说明，增大w1对函数的总体表现更有利。就是说，增大w1后，虽然在样本1上犯的错误会稍稍增大，但在样本2上犯的错误会大大减小，一个是稍稍增大，一个是大大减小，为了函数总体表现，肯定是增大w1的值啦。

那么具体增加多大呢？我们可以用一个专门的参数alpha来控制。

 

二 Python代码（核心部分）

from numpy import *
def gradientAscent(dataMat,labelMat):
    dataMat=mat(dataMat)
    m,n=shape(dataMat)
    labelMat=mat(labelMat).T
    
    
    #假设weight =1
    weights=ones((n,1))
    alpha=0.00001 #学习率
    num=500000  #循环次数
    
    for k in range(num):
        #整个数据集全部运算：num*m
        #计算 z 值
        z=dataMat*weights
        y=sigmoid(z)
        
        error=labelMat-y
        
        #更新weights
        weights=weights+alpha*dataMat.T * error
    return weights
        

三.画出图像

def showPlot(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr=array(dataMat)
    n=shape(dataArr)[0]
    
    #正样本
    xcord1=[]
    ycord1=[]
    
    xcord2=[]
    ycord2=[]
    
    #循环数据，存到正负样本中
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])==1:
            xcord1.append(dataArr[i,1])
            ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1])
            ycord2.append(dataArr[i,2])
    
    fig=plt.figure()
    ax=fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1,ycord1,c='red')
    ax.scatter(xcord2,ycord2,c='green')
    
    x=arange(-5,5,0.1)
    
    y=arange(-5,5,0.1)
    y=(-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    y=y.T
    ax.plot(x,y)
    plt.show()
    

四.其余代码

def loadDataSet():
    dataMat=[]
    labelMat=[]
    fr=open('dataset/testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        array=line.strip().split()
        #截距 特征
        dataMat.append([1.0,float(array[0]),float(array[1])])
        labelMat.append(int(array[2]))
    return dataMat,labelMat


#方式一的函数图
dataMat,labelMat=loadDataSet()
weights1=gradientAscent(dataMat,labelMat)
showPlot(weights1)

五.数据集

-0.017612    14.053064    0
-1.395634    4.662541    1
-0.752157    6.538620    0
-1.322371    7.152853    0
0.423363    11.054677    0
0.406704    7.067335    1
0.667394    12.741452    0
-2.460150    6.866805    1
0.569411    9.548755    0
-0.026632    10.427743    0
0.850433    6.920334    1
1.347183    13.175500    0
1.176813    3.167020    1
-1.781871    9.097953    0
-0.566606    5.749003    1
0.931635    1.589505    1
-0.024205    6.151823    1
-0.036453    2.690988    1
-0.196949    0.444165    1
1.014459    5.754399    1
1.985298    3.230619    1
-1.693453    -0.557540    1
-0.576525    11.778922    0
-0.346811    -1.678730    1
-2.124484    2.672471    1
1.217916    9.597015    0
-0.733928    9.098687    0
-3.642001    -1.618087    1
0.315985    3.523953    1
1.416614    9.619232    0
-0.386323    3.989286    1
0.556921    8.294984    1
1.224863    11.587360    0
-1.347803    -2.406051    1
1.196604    4.951851    1
0.275221    9.543647    0
0.470575    9.332488    0
-1.889567    9.542662    0
-1.527893    12.150579    0
-1.185247    11.309318    0
-0.445678    3.297303    1
1.042222    6.105155    1
-0.618787    10.320986    0
1.152083    0.548467    1
0.828534    2.676045    1
-1.237728    10.549033    0
-0.683565    -2.166125    1
0.229456    5.921938    1
-0.959885    11.555336    0
0.492911    10.993324    0
0.184992    8.721488    0
-0.355715    10.325976    0
-0.397822    8.058397    0
0.824839    13.730343    0
1.507278    5.027866    1
0.099671    6.835839    1
-0.344008    10.717485    0
1.785928    7.718645    1
-0.918801    11.560217    0
-0.364009    4.747300    1
-0.841722    4.119083    1
0.490426    1.960539    1
-0.007194    9.075792    0
0.356107    12.447863    0
0.342578    12.281162    0
-0.810823    -1.466018    1
2.530777    6.476801    1
1.296683    11.607559    0
0.475487    12.040035    0
-0.783277    11.009725    0
0.074798    11.023650    0
-1.337472    0.468339    1
-0.102781    13.763651    0
-0.147324    2.874846    1
0.518389    9.887035    0
1.015399    7.571882    0
-1.658086    -0.027255    1
1.319944    2.171228    1
2.056216    5.019981    1
-0.851633    4.375691    1
-1.510047    6.061992    0
-1.076637    -3.181888    1
1.821096    10.283990    0
3.010150    8.401766    1
-1.099458    1.688274    1
-0.834872    -1.733869    1
-0.846637    3.849075    1
1.400102    12.628781    0
1.752842    5.468166    1
0.078557    0.059736    1
0.089392    -0.715300    1
1.825662    12.693808    0
0.197445    9.744638    0
0.126117    0.922311    1
-0.679797    1.220530    1
0.677983    2.556666    1
0.761349    10.693862    0
-2.168791    0.143632    1
1.388610    9.341997    0
0.317029    14.739025    0