Ceres使用经验之柯西核函数

原理

在优化中，经常会遇见有异常值的情况．如在直线拟合中，可能会出现若干个不在直线上点，此时如果每一个点的权重一样，就会导致求得的直线方程不理想．
为了增强优化过程中对异常值的鲁棒性，一种比较可行的办法是使用鲁邦和函数，常见的鲁邦和函数有：柯西核函数，huber核函数．以下以柯西核函数为例说明；
在标准的最小二乘中， $r_i$是残差项，一般最小化如下目标函数：
$min 1/2\Sigma_i r_i^2$
以应用柯西核函数如下：
$min \Sigma \frac{c^2}{2}log(1+(\frac{r_i}{c})^2)$
与普通的最小二乘目标函数相比，采用柯西核函数之后，使得当r_i过大时，其对应的目标函数不至于过大，从而起到抑制异常值的作用．

实例

举一个简单的例子．拟合一条y=x的直线，现在出现一个(0,10)的outlier, 根据标准最小二乘，其目标函数为：
$f_{leastsquare} = 50$
假设c=1, 柯西核函数目标函数值：
$f_{cauchy} = 1/2log(101) = 2.3$
可以看出使用柯西核函数之后，该点对整个系统的影响明显减小了．当然使用柯西核函数也有其缺点：

1. 可能会导致有无数个无法观测的解．＂With a descending first derivative, such a function has a
   tendency to yield erroneous solutions in a way which can not be observed＂
   在Ceres中，只需要在增加残差项时指定柯西核函数：

optimize_problem.AddResidualBlock(cost_function, new ceres::CauchyLoss(0.5), pose_params.data());

同时还需要制定柯西函数的ｃ值，可以通过对目标函数求导，看出ｃ值对目标函数值的影响：
$\frac{\partial O}{\partial r} = \frac{c^2}{2} \frac{1}{1+(r/c)^2} = \frac{r}{1+(r/c)^2}$
可以看出当c增大，目标函数的一阶导数越小，即异常值对目标函数影响越小．

参考

1. Parameter Estimation Techniques: A Tutorial with Application to Conic Fitting, Zhengyou Zhang