问题 E: 【数论】欧几里得的游戏
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题目描述
欧几里德的两个后代Stan和Ollie正在玩一种数字游戏，这个游戏是他们的祖先欧几里德发明的。给定两个正整数M和N，从Stan开始，从其中较大的一个数，减去较小的数的正整数倍，当然，得到的数不能小于0。然后是Ollie，对刚才得到的数，和M，N中较小的那个数，再进行同样的操作……直到一个人得到了0，他就取得了胜利。下面是他们用(25，7)两个数游戏的过程：
Start：25 7
Stan：11 7
Ollie：4 7
Stan：4 3
Ollie：1 3
Stan：1 0
Stan赢得了游戏的胜利。
现在，假设他们完美地操作，谁会取得胜利呢？
输入
第一行为测试数据的组数C。下面有C行，每行为一组数据，包含两个正整数M, N。（M, N不超过长整型。）
输出
对每组输入数据输出一行，如果Stan胜利，则输出“Stan wins”；否则输出“Ollie wins”
样例输入
2 25 7 24 15
样例输出
Stan wins Ollie wins
【分析】
不妨设n>m，若n%m==0则为必胜状态。
必胜态的前一个状态肯定是（n，m+kn），即现在的必胜态肯定是m+n减掉了k倍的n得来的。如果k大于1,那么我完全可以不把m+kn的k个n都减掉而让对手拿到了必胜态，所以（n，m）的前一个状态一定是（m+n，n）。
所以，如果我遇到了一个状态（n，m），n/m==1，那我唯一的操作就是让n减掉m，这样下一个状态就有可能是必胜态。我并不想把必胜态让给对手，所以我想尽量不要遇到这样的（n，m）n/m==1；
那我就把这样的状态尽量留给我的对手，比如（10,4），那我就给对手留（6,4），而不是（2,4）；
然后，讨论一下n/m>1的情况：那我就可以掌控大局了，我从n中拿掉一些m，使得剩下的n/m==1或者m/n==1，这样对手就别无选择了，只能从大数中减掉一个小数，对手剩给我的就有可能是个必胜态，或者又是个n/m>1，或者n/m==1（这种情况因为我是先手，我可以预判一下，我是不会让这种事情发生的），因此我总是有办法赢。
【代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
int T;
ll n,m;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n<m)swap(n,m); //n%m==0必胜
int res=1;
while(n%m&&n/m==1)
{
n-=m;
if(n<m)swap(n,m);
res^=1;
}
printf("%s wins\n",res?"Stan":"Ollie");
}
}